Диэдральная симметрия в трёхмерном пространстве — это одна из трёх бесконечных последовательностей точечных групп в трёхмерном пространстве, которые имеют группы симметрии, являющиеся абстрактными диэдральными группами Dihn (для n ≥ 2).
Типы Существует три типа диэдральной симметрии в трёхмерном пространстве, каждая показана ниже в трёх обозначениях: нотация Шёнфлиса, и .
Хиральная Dn, [n,2]+, (22n) порядка 2n — диэдральная симметрия или пара-n-угольная группа (абстрактная группа - Dihn). Ахиральные Dnh, [n,2], (*22n) порядка 4n – призматическая симметрия или полная орто-n-угольная группа (абстрактная группа - Dihn × Z2). Dnd (или Dnv), [2n,2+], (2*n) порядка 4n — антипризматическая симметрия или полная гиро-n-угольная группа (абстрактная группа - Dih2n).
Для заданного n все три типа имеют вращательную симметрию порядка n вокруг одной оси (вращение на угол 360°/n не изменяет объект), и n вращательных симметрий порядка 2 для перпендикулярных осей. Для n = ∞ они соответствуют трём группам бордюра. Обозначения симметрий указаны в нотации Шёнфлиса, в квадратных скобках — в и в круглых скобках — в . Термин «горизонтальный» (h) используется по отношению к вертикальной оси вращения.
В двумерном пространстве (на плоскости) группа симметрии Dn включает зеркальное отражение относительно прямых. Если плоскость вложена в трёхмерное пространство, такие отражения можно рассматривать либо как сужение на плоскость зеркального отражения относительно вертикальной плоскости, либо как сужение на плоскость вращения на 180° вокруг оси вращения. В трёхмерном пространстве две операции отличаются - группа Dn содержит только вращения и не содержит зеркальных отражений. Другая группа - циклическая или пирамидальная симметрия Cnv того же порядка 2n.
Вместе с зеркальной симметрией относительно плоскости, перпендикулярной оси вращения порядка n, мы имеем Dnh, [n], (*22n).
Dnd (или Dnv), [2n,2+], (2*n) имеет вертикальные плоскости отражения, проходящие между горизонтальными осями вращения, а не через них. Как результат, вертикальная ось является осью порядка 2n.
Dnh является группой симметрии правильной n-угольной призмы, а также правильной n-угольной бипирамиды. Dnd является группой симметрии правильной n-угольной антипризмы, а также правильного n-угольного трапецоэдра. Dn является группой симметрии частично повёрнутой призмы.
Случай n = 1 не включён, поскольку три типа симметрии равны следующим: D1 и C2 — группа порядка 2 простого вращения на 180°. D1h и C2v — группа порядка 4 с отражение относительно плоскости и поворотом на 180° вокруг прямой на этой плоскости. D1d и C2h — группа порядка 4 с отражением относительно плоскости и поворотом на 180° вокруг прямой, перпендикулярной плоскости.
Для n = 2 нет главной оси и двух дополнительных, а есть три равноправные оси.
D2, [2,2]+, (222) — группа порядка 4 является одним из трёх типов групп симметрии с четверной группой Кляйна в качестве абстрактной группы. Симметрия имеет три перпендикулярные оси вращения второго порядка. Она является группой симметрии кубоида с буквой S, написанной на двух противоположных гранях с той же ориентацией. D2h, [2,2], (*222) — группа порядка 8 является группой симметрии кубоида. D2d, [4,2+], (2*2) — группа порядка 8 является группой симметрии, например, для многогранников Квадратный кубодид с диагональю, нарисованной на одной из квадратных граней и перпендикулярной диагональю на другой грани. Правильны тетраэдр, растянутый в направлении прямой, соединяющей середины двух противоположных рёбер (D2d является подгруппой Td; путём растяжения мы уменьшаем симметрию).
Подгруппы D2h, [2,2], (*222)D4h, [4,2], (*224)
Для Dnh, [n,2], (*22n) порядка 4n Cnh, [n+,2], (n*) порядка 2n Cnv, [n,1], (*nn) порядка 2n Dn, [n,2]+, (22n) порядка 2n
Для Dnd, [2n,2+], (2*n) порядка 4n S2n, [2n+,2+], (n×) порядка 2n Cnv, [n+,2], (n*) порядка 2n Dn, [n,2]+, (22n) порядка 2n
Dnd является также подгруппой группы D2nh.
Примеры D2h, [2,2], (*222)порядок 8D2d, [4,2+], (2*2)порядок 8D3h, [3,2], (*223)порядок 12Контуры швов баскетбольного мячаКонтуры швов бейсбольного мяча (игнорируем направленность шва)(игнорируем раскраску)
Dnh, [2,n], (*22n):
призмы
D5h, [2,5], (*225):
Пентаграммная призма
D4d, [8,2+], (2*4):
Плосконосаяквадратнаяантипризма
D5d, [10,2+], (2*5):
Пятиугольная антипризма Пятиугольный трапецоэдр
D17d, [34,2+], (2*17):
Семиугольная антипризма
См. также Список групп сферической симметрии Точечная группа в трёхмерном пространстве Циклическая симметрия в трёхмерном пространстве
Примечания
Литература
Ссылки Graphic overview of the 32 crystallographic point groups – form the first parts (apart from skipping n=5) of the 7 infinite series and 5 of the 7 separate 3D point groups
Категория:Симметрия Категория:Евклидовы симметрии Категория:Теория групп