Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники.
Формулировка Для плоского треугольника со сторонами и углом , противолежащим стороне , справедливо соотношение:
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 7—9: учеб. для общеобразоват. учреждений — 15-е изд. — М.: Просвещение, 2005. — С. 257. — 384 с.: ил. — ISBN 5-09-014398-6
Доказательства
Следствия Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника
В частности, Если , угол α — острый Если , угол α — прямой (если угол α прямой, то теорема косинусов становится теоремой Пифагора) Если , угол α — тупой
Теорема косинусов может быть записана также в следующем виде: , .
Находя из двух последних формул в явном виде и , получим известные формулы геометрии: , , , где p — полупериметр. Наконец, используя правые части формул для и и известную формулу площади треугольника: , а также известную формулу синуса двойного угла после небольших преобразований получим известную формулу Герона для площади треугольника: , где p — полупериметр треугольника.
Для других углов Теорема косинусов для двух других углов имеет вид:
Из этих и из основной формулы могут быть выражены углы:
История
Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в предложениях 12 и 13 книги II «Начал» Евклида.
Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях ал-Баттани.Florian Cajori. A History of Mathematics — 5th edition 1991 Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» по имени ал-Баттани.
В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии. В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.
Вариации и обобщения Теоремы косинусов (сферическая геометрия) или Теорема косинусов для трёхгранного угла. Теоремы косинусов (геометрия Лобачевского) Тождество параллелограмма. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон (см. также Теорема Птолемея):
Для евклидовых нормированных пространств Пусть в евклидовом пространстве задана норма, ассоциированная со скалярным произведением, то есть . Тогда теорема косинусов формулируется следующим образом:
Теорема.
Для четырёхугольников Возводя в квадрат тождество можно получить утверждение, иногда называемое теоремой косинусов для четырёхугольников: , где — угол между прямыми AB и CD. Или иначе:
Формула справедлива и для тетраэдра, под подразумевается угол между скрещивающимися рёбрами. С помощью неё можно найти косинус угла между скрещивающимися рёбрами и зная все рёбра тетраэдра:
Где и , и пары скрещивающихся рёбер тетраэдра.
Косвенный аналог для четырёхугольника
Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике, косвенный аналог теоремы косинусов:
Если четырёхугольник вырождается в треугольник, и одна вершина попадает на сторону, то получается теорема Стюарта. Теорема косинусов для треугольника является частным случаем соотношения Бретшнайдера, если в качестве четвёртой вершины выбрать центр описанной окружности треугольника.
Симплексы
при этом следует зачеркнуть строку и столбец, где находится или .
— угол между гранями и , — грань, находящаяся против вершины i, а — расстояние между вершинами i и j.
См. также Решение треугольников Скалярное произведение Соотношение Бретшнайдера Теорема косинусов для трёхгранного угла Теорема о проекциях Теорема Пифагора Сферическая теорема косинусов Теорема котангенсов Теорема синусов Теорема тангенсов Тригонометрические тождества Тригонометрические функции
Примечания
Литература
Косинусов Категория:Геометрия треугольника Категория:Тригонометрия