Двадцатичетырёхъячейниковые соты 24-ячейник и первый уровень смежных 24-ячейников.ТипПравильные соты в четырёхмерном пространствеСимвол Шлефли{3,4,3,3}r{3,3,4,3}2r{4,3,3,4}2r{4,3,31,1}{31,1,1,1}Диаграммы Коксетера — ДынкинаТип тела{3,4,3} Тип ячейки{3,4} Тип грани{3}Рёберная фигура{3,3} Вершинная фигура{4,3,3} Двойственные сотыГруппы Коксетера, [3,4,3,3], [4,3,3,4], [4,3,31,1], [31,1,1,1]Свойстваправильные Двадцатичетырёхъячейниковые соты — это правильное заполняющее пространство замощение (соты) четырёхмерного евклидова пространства правильными двадцатичетырёхъячейниками (24-ячейниками). Соты могут быть представлены символом Шлефли {3,4,3,3}. Для краткости будем в дальнейшем вместо двадцатичетырёхъячейниковые соты использовать 24-соты.

Двойственное замощение правильными имеет символ Шлефли {3,3,4,3}. Вместе с (сотами из четырёхмерных кубов) они являются единственными правильными замощениями в евклидовом четырёхмерном пространстве.

Координаты

24-соты могут быть построены как диаграмма Вороного D4 или решётки симметрии F4. Каждый 24-ячейник затем центрируется в точке решётки D4, то есть в одной из

Эти точки могут быть описаны как кватернионы Гурвица с чётной квадратной нормой.

Вершины сот лежат в глубоких пустотах решётки D4. Они являются кватернионами Гурвица с нечётной квадратной нормой.

Соты могут быть построены как биспрямлённые тессерактные соты, если взять и разместить вершины в центрах всех квадратных граней. Фасеты 24-ячейника находятся между этими вершинами как спрямлённые 16-ячейники. Если координатами тессерактных сот являются целые (i,j,k,l), вершины биспрямлённых тессерактных сот можно расположить на всех перестановках половинных сдвигов в двух из четырёх размерностей, то есть, (i+,j+,k,l), (i+,j,k+,l), (i+,j,k,l+), (i,j+,k+,l), (i,j+,k,l+), (i,j,k+,l+).

Конфигурация

Каждый 24-ячейник имеет 24 соседних 24-ячейника. С каждым соседним 24-ячейником ячейка сот делит ровно одну октаэдральную (3-мерную) ячейку.

24-ячейник имеет кроме того ещё 24 соседних 24-ячейника, имеющих с ним одну общую вершину.

Ячейник не имеет соседей, имеющих с ним только общее ребро или общую грань.

Вершинная фигура 24-сот является тессерактом (4-мерным кубом). Таким образом, в каждой вершине сходятся 16 рёбер, 32 треугольника, 24 октаэдра и 8 24-ячейников. Рёберная фигура является тетраэдром, так что имеется 4 треугольника, 6 октаэдров и 4 24-ячейника вокруг каждого ребра. Наконец, фигурой грани является треугольник, так что имеется 3 октаэдра и 3 24-ячейника на каждой грани.

Сечения

Одним из способов представить визуально 4-мерное тело является различные 3-мерные сечения. То есть, пересечение различных гиперплоскостей с рассматриваевым телом. Применение этой техники к 24-сотам даёт различные трёхмерные соты с разной степенью правильности.

Вершинное сечениеРомбододекаэдральные сотыКубические сотыЯчейное сечение Вершинное сечение использует некую гиперплоскость, ортогональную отрезку, соединяющему две противоположные вершины 24-ячейника. Например, можно взять любую из координатных гиперплоскостей в приведённой выше координатной системе (то есть, плоскости, определённые выражением xi = 0). Сечение сот {3,4,3,3} одной из этих гиперплоскостей даёт ромбододекаэдральные соты. Каждый из ромбододекаэдров соответствует максимальному сечению одного из 24-ячейников гиперплоскостью (центр каждого такого (4-мерного) 24-ячейника лежит на гиперплоскости). Соответственно, ромбододекаэдральные соты являются замощением Вороного решётки D3 (гранецентрированной решётки). Сдвиг гиперплоскости наполовину к одной из вершин (например, xi = ) приводит к правильным кубическим сотам. В этом случае центр каждого 24-ячейника лежит на гиперплоскости. Сдвинув ещё, так что гиперплоскость окажется на вершине, получим другие ромбододекаэдральные соты, но с новыми 24-ячейниками (прежние ячейники схлопнутся до точек). В общем случае, для любого n сечение через xi = n является ромбододекаэдральными сотами, а сечение через xi = n + является кубическими сотами. При движении гиперплоскости в 4-мерном пространстве сечение периодически меняется между этими двумя видами сот.

Ячейное сечение использует некую гиперплоскость, параллельную оной из октаэдральных ячеек 24-ячейника. Представим, например, гиперплоскость, перпендикулярную вектору (1,1,0,0). Сечение сот {3,4,3,3} этой гиперплоскостью является . Каждый кубооктаэдр в этих сотах является максимальным сечением 24-ячейника, центр которого лежит на плоскости. Между тем, каждый октаэдр является граничной ячейкой (4-мерного) 24-ячейника, центр которого лежит на плоскости. Сдвигая гиперплоскость наполовину между центром 24-ячейника и границей получим . Кубооктаэдры уменьшаются в размерах, а октаэдры растут, пока оба не станут усечёнными октаэдрами. Сдвигая далее, так что гиперплоскость пересечёт границу центрального 24-ячейника, получим снова полноусечённые кубические соты, кубооктаэдры и октаэдры поменяются местами. При движении гиперплоскости в 4-мерном пространстве сечение периодически меняется между этими двумя видами сот.

Контактное число Если трёхмерная сфера вписана в каждую гиперячейку замощения, получающееся расположение является наиболее плотной Задача об упаковке сфер и задача о контактном числе чрезвычайно сложны и оптимальные решения известны только в размерностях 1, 2, 3, 8 и 24 (плюс размерность 4 для задачи о контактном числе). правильной упаковкой сфер в четырёхмерном пространстве с контактным числом 24. Плотность упаковки в этом расположении сфер равна

Каждая вписанная трёхмерная сфера касается 24 других в центрах октаэдральных ячеек этих 24-ячейников, поскольку каждая такая октаэдраальная грань является общей для смежных 24-ячейников. В замощении с единичной длиной рёбер диаметр сфер (расстояние между двумя центрами соприкасающихся сфер) равен .

Сразу за этой окружающей оболочкой из 24 касающихся 3-сфер находится другая менее плотная оболочка из 24 3-сфер, которые не касаются друг друга или центральной 3-сферы. Они вписаны в 24-ячейники, с которыми центральный 24-ячейник имеет только одну общую вершину (а не октаэдральную ячейку). Расстояние между центром одной их этих сфер и любого соседа из окружающей оболочки или центтральной сферы равно 2.

Альтернативно, такая же упаковка сфер с контактным числом 24 может быть получена с меньшими 3-сферами, если расположить их в центрах и вершинах 24-ячейников. (Это эквивалентно расположению их на с единичной длиной ребра.) В этом случае центральная 3-сфера касается 24 других в центрах кубических фасет трёх тессерактов, вписанных в 24-ячейник.

Сразу за оболочкой из этих касающихся 3-сфер диаметра 1 находится другая менее плотная оболочка 24 не касающихся друг друга 3-сфер диаметра 1. Их центры находятся в смежных 24-ячейниках, с которыми центральный 24-ячейник имеет общие октаэдральные фасеты. Расстояние между центрами этих сфер и центрами соседей из оболочки или центральной сферы равно .

Построения симметрией

Имеется пять различных построения Витхоффа этого замощения как . Они геометрически идентичны правильной форме, но разница симметрий может быть представлена путём раскрашивания фасет 24-ячейника. Во всех случаях восемь 24-ячейников сходятся в одной вершине, но вершинные фигуры имеют различные генераторы симметрии.

Группа КоксетераСимволы ШлефлиДиаграмма КоксетераФасеты(24-ячейников)Вершинная фигура(8-ячейник)Порядоксимметриивершиннойфигуры = [3,4,3,3]{3,4,3,3}8: 384r{3,3,4,3}6: 2: 96 = [4,3,3,4]2r{4,3,3,4}4,4: 64 = [4,3,31,1]2r{4,3,31,1}2,2: 4: 32 = [31,1,1,1]{31,1,1,1}2,2,2,2:16

Смотрите также Другие однородные соты в четырёхмерном пространстве:

Примечания

Литература

(Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]

Klitzing, Richard. Euclidean tilings|o4o3x3o4o, o3x3o *b3o4o, o3x3o *b3o4o, o3x3o4o3o, o3o3o4o3x - icot - O88

Категория:Пятимерные многогранники Категория:Соты (геометрия)