Дзета-функция Эйри — функция, аналогичная дзета-функции Римана и связанная с нулями функции Эйри: , где — нули функции Эйри , упорядоченные по возрастанию величины: . (Функция Эйри положительна при положительных значениях , но осциллирует при отрицательных значениях аргумента.) Ряд сходится, если действительная часть больше 3/2, и может быть аналитически продолжен для других значений .
Введена и изучена Ричардом Крэндаллом в 1996 году.
Для функции существует и аналитическое выражение: , где — гамма-функция, а определяется рекурсивно по следующей формуле: , .
Вычисление в целых точках Как и дзета-функция Римана, значение которой есть решение базельской задачи, дзета-функция Эйри может быть точно вычислена в точке : , где — гамма-функция. Аналогичные результаты возможны и для других целых значений .
Условлено считать, что аналитическое продолжение дзета-функции Эйри в точке 1 равно: . Для вычисления значений функции в остальных целых точках, применяют также следующий приём — если определить: , то установлено (Борвейн, 2004), что всегда есть многочлен относительно . В частности:
Литература
Ссылки
Категория:Дзета- и L-функции