Дзета-функция Виттена — функция, связанная с корневой системой, кодирующей степени неприводимых представлений соответствующей группы Ли. Эти дзета-функции были введены Доном Цагиром, который дал им название в честь исследования Эдвардом Виттеном их специальных значений (помимо прочего). Обратите внимание, что в дзета-функции Виттена не появляются как явные самостоятельные объекты.
Если — компактная полупростая группа Ли, соответствующая дзета-функция Виттена — это (мероморфное продолжение) ряда:
,
где сумма берётся по классам эквивалентности неприводимых представлений .
В случае, когда связно и односвязно, соответствие между представлениями и её алгебры Ли вместе с формулой размерности Вейля подразумевает, что можно записать как:
,
где обозначает множество положительных корней, представляет собой набор простых корней и — ранг.
Функция обобщает дзета-функцию Римана: , где — специальная унитарная группа матриц размерности 2×2.
Абсцисса сходимости Если является простой и односвязной, абсцисса сходимости равна , где — ранг и . Это увтерждение доказано Алексом Любоцким и Майклом Ларсеном. Йокке Хяся и Александр Стасинский приводят новое доказательство, которое ведёт к более общему результату, а именно, оно даёт явное значение (в терминах простой комбинаторики) абсциссы сходимости любой «дзета-функции Меллина» вида: ,
где является произведением линейных многочленов с неотрицательными действительными коэффициентами.
Дзета-функция Виттена для SU(3) Дзета-функция Виттена для :
сходится абсолютно при и может быть мероморфно продолжена на . Все её особенности, являющиеся так же простыми полюсами, находятся в точках В точке , у нас есть и
Для : .
Если нечётно, то имеет тривиальный ноль в , и: .
Если чётно, то имеет ноль порядка в , и:
Примечания
Категория:Дзета- и L-функции