Дзета-функция Госса в теории чисел и арифметической геометрии - аналог дзета-функции Римана для глобальных полей положительной характеристики (так называемых функциональных полей). Функция была введена американским математиком в конце 1970-х.

Теория дзета-функции Госса тесно связана с теорией модулей Дринфельда и изучает свойства распределения простых идеалов в кольцах многочленов над конечными полями, предоставляя аналитический инструмент для доказательства теорем об арифметике функциональных полей.

Определение Аналогично тому, как классическая дзета-функция Римана задаётся рядом Дирихле или эйлеровым произведением по простым числам, дзета-функция Госса строится для кольца многочленов.

Пусть — конечное поле из элементов (где — степень простого числа ), а — кольцо многочленов от одной переменной над этим полем. Дзета-функция Госса определяется как бесконечное произведение по всем моническим неприводимым (простым) многочленам из кольца :

,

где — норма многочлена . Этот ряд сходится для определённых значений параметра .

В отличие от классического случая, аргумент здесь принадлежит не полю комплексных чисел , а специфической топологической группе , называемой плоскостью Госса (где — пополнение алгебраического замыкания поля формальных лорановских рядов , а — кольцо -адических целых чисел).

Аналог гипотезы Римана Одним из наиболее выдающихся результатов, связанных с функцией Госса, является строгий аналог гипотезы Римана.

В изначальной гипотезе Римана утверждается, что все нетривиальные нули лежат на критической прямой . Для функциональных полей Дэвид Госс сформулировал схожее предположение, учитывающее неархимедову природу области определения. Согласно этой гипотезе, нули функции Госса должны быть простыми и лежать на специфической «вещественной оси» пространства параметров — в поле .

Для частного случая (простое поле) гипотеза была доказана Дацином Ваном и Хавьером Диасом-Варгасом. В полном объёме для произвольного поля гипотезу Госса доказал Джеффри Шитс в 1998 году.

Обобщения и значение В 1995 году Михаил Капранов исследовал многомерные обобщения дзета-функции Госса, распространив её определение на алгебраические многообразия произвольной размерности над конечными полями. Это открытие выявило новые направления в изучении -функций, мотивов и их роли в арифметической геометрии.

Вопросы о том, насколько дзета-функция Госса похожа на -адические дзета-функции и можно ли её использовать для доказательства результатов о классических -рядах (например, в гипотезе Бёрча и Свиннертона-Дайера для эллиптических кривых), остаются областями активных исследований. Изучение этих структур помогает глубже понять природу полей функций и их структурное сходство с классическими числовыми полями.

Литература

См. также Дзета-функция Модуль Дринфельда Арифметика функциональных полей Гипотеза Римана

Категория:Дзета- и L-функции Категория:Теория чисел Категория:Алгебраическая геометрия