Эта-функция Дедекинда — модулярная форма с весом 1/2, определённая на верхней комплексной полуплоскости: . Названа в честь Рихарда Дедекинда; находит применение как в теории эллиптических функций, так и в ряде приложений, в частности, используется в теории бозонных струн.
Основные свойства Для сокращённой записи часто используется замена , в этом случае определение функции выражается следующим образом: .
Возведение выражения эта-функции в 24-ю степень и умножение на даёт: , где — модулярный дискриминант. Присутствие числа 24 может быть объяснено, в частности, связью с 24-мерной решёткой Лича .
Эта-функция голоморфна на верхней полуплоскости, но не может быть аналитически продолжена за её пределы.
Функция удовлетворяет следующим функциональным уравнениям: , .
Во втором уравнении ветвь квадратного корня выбирается таким образом, что при .
Для таковых, что , притом либо , либо и преобразование:
принадлежит модулярной группе; тогда: , где:
Здесь — сумма Дедекинда: .
Эти функциональные уравнения показывают, что эта-функция является модулярной формой веса 1/2 и уровня 1 для определённого характера метаплектического двойного покрытия порядка 24 модулярной группы, и может быть использована для определения других модулярных форм. В частности, модулярный дискриминант эллиптической функции Вейерштрасса:
можно определить как: ,
что является модулярной формой с весом 12. Иногда опускают множитель , чтобы разложение в ряд имело целые коэффициенты.
Из тройного произведения Якоби следует, что эта-функция (с точностью до множителя) является тета-функцией Якоби для специальных значений аргументов: .
где — характер Дирихле по модулю 12, при этом и . В явном виде:
Функция Эйлера:
имеет степенной ряд в силу тождества Эйлера: .
Используя теорему Эйлера о пятиугольных числах для эта-функция может быть выражена как: , это доказывается подстановкой в теореме Эйлера о пятиугольных числах с определением эта-функции.
Другой способ обнаружить эта-функцию — следующий предел: , или, что аналогично: , где — тета-функция Якоби и .
Поскольку эта-функцию легко вычислить численно из степенного ряда, при вычислениях часто бывает полезно выражать через неё другие функции, если это возможно. Кроме того, произведения и отношения эта-функций, называемые эта-частными, могут быть использованы для выражения большого разнообразия модулярных форм.
Комбинаторные тождества Теория алгебраических характеров аффинных алгебр Ли порождает большой класс ранее неизвестных тождеств для эта-функции. Эти тождества следуют из , а точнее, из так называемых «тождеств знаменателей». Сами характеры позволяют строить обобщения тета-функции Якоби, преобразующиеся под действием модулярной группы; это и приводит к таким тождествам. Примером одного из таких новых тождеств является:
где — -аналог или «деформация» наибольшего веса модуля.
Частные значения Из связи с функцией Эйлера и знания её частных значений следует:
Эта-частные Эта-частные определяются частными вида:
где — неотрицательное целое число, а — любое целое число. Линейные комбинации эта-частных при мнимых квадратичных аргументах могут быть алгебраическими, а комбинации эта-частных могут быть даже целыми. Например, для:
с 24-й степенью имеет место:
и дальнейшие значения, появляющиеся в .
Эта-частные также могут быть полезным инструментом для описания базисов модулярных форм, которые трудно вычислить и выразить напрямую. В 1959 году Моррис Ньюман доказал, что если эта-частное имеет вид:
и выполняется: и , тогда является модулярной формой веса для конгруэнтной подгруппы (с точностью до голоморфности), где: . Этот результат был улучшен в 2019 году таким образом, что обратное справедливо для случаев, когда взаимно просто с 6. Остаётся открытым вопрос о строгости исходной теоремы для всех целых чисел . Это также распространяется на утверждение, что любое модулярное эта-частное для любой подгруппы конгруэнтности уровня также должно быть модулярной формой для группы . Хотя эти теоремы характеризуют модулярные эта-частные, условие голоморфности должно быть проверено отдельно: если — эта-частное, удовлетворяющее соответствующим условиям для целого числа , а и — взаимно простые целые числа, то порядок исчезновения в точке возврата равен: .
Эти теоремы дают эффективный способ создания голоморфных модулярных эта-частных, однако этого может быть недостаточно для построения базиса векторного пространства модулярных форм и касп-форм. Полезная теорема об ограничении числа рассматриваемых модулярных эта-частных утверждает, что голоморфное модулярное эта-частное с весом на должно удовлетворять: , где обозначает наибольшее целое число такое, что делит .
Примечания
Литература
Категория:Эллиптические функции Категория:Фракталы