Дзета-функция Минакшисундарама–Плейеля — это дзета-функция, кодирующая собственные значения лапласиана компактного риманова многообразия. Она была введена Суббарамиахом Минакшисундарамом и Оке Плейелем (1949). Случай компактной области плоскости был ранее рассмотрен Торстеном Карлеманом (1935).
Определение Для компактного риманова многообразия M размерности N с собственными значениями оператора Лапласа–Бельтрами , дзета-функция задаётся для достаточного большого следующим образом
Если собственное значение равно нулю, оно опускается. Многообразие может иметь границу, и в этом случае необходимо задать подходящие граничные условия, например, условия Дирихле или Неймана.
В более общем смысле можно определить
для P и Q на таком многообразии, где являются нормированными собственными функциями. Это выражение может быть аналитически продолжено до мероморфной функции от s при любых комплексных s и является голоморфной при .
Единственно возможными полюсами являются простые полюса в точках для нечётных и в точках для чётных . Если нечётное, то сокращается при . Если чётно, вычеты в полюсах можно явно найти в терминах метрики и по теореме Винера–Икехары мы получаем, как следствие, соотношение
,
где символ показывает, что частное обеих сторон стремится к 1, когда стремится к .
Функцию можно восстановить из путем интегрирования по всему многообразию :
.
Тепловое ядро Аналитическое продолжение дзета-функции можно найти, выразив её через тепловое ядро
как преобразование Меллина
В частности, имеем
где
является следом теплового ядра.
Полюса дзета-функции можно найти из асимптотического поведения теплового ядра при t →0.
Пример Если многообразие представляет собой окружность размерности = 1, то собственные значения лапласиана равны при целых . Дзета-функция будет выражаться как
где ζ — дзета-функция Римана.
Приложения Применяя метод теплового ядра к асимптотическому разложению риманова многообразия , получаем две следующие теоремы. Обе они являются решениями обратной задачи, в которой геометрические свойства или величины определяются из спектров операторов.
Асимптотическое разложение Минакшисундарама–Плейеля
Пусть — -мерное риманово многообразие. Тогда при след теплового ядра имеет асимптотическое разложение вида
При это означает, что интеграл скалярной кривизны даёт нам эйлерову характеристику по теореме Гаусса–Бонне.
В частности,
где — скалярная кривизна, след кривизны Риччи на .
Асимптотическая формула Вейля Пусть — компактное риманово многообразие с собственными значениями где каждое собственное значение повторяется с указанной кратностью. Определим как количество собственных значений, меньших или равных , и пусть обозначим объем единичного диска в . Тогда
при . Кроме того, при ,
Эту формулу также называют законом Вейля, уточнённым на основе асимптотического разложения Минакшисундарама–Плейеля.
Ссылки
Категория:Дзета- и L-функции Категория:Дифференциальная геометрия и топология Категория:Гармонический анализ Категория:Википедия:Страницы с непроверенными переводами