Трансцендентная функция Лерха — специальная функция, обобщающая дзета-функцию Гурвица и полилогарифм:
.
Ряд сходится только при действительных , при или и .
Описана Матиашем Лерхом в 1887 году.
Частные случаи За счёт параметризма обобщает весьма широкий класс функций, в частности, через неё с различными параметрами могут быть выражены: дзета-функция Лерха: , дзета-функция Гурвица: , полилогарифм: , дзета-функция Римана: , эта-функция Дирихле: , бета-функция Дирихле: , хи-функция Лежандра: интегральный арктангенс: , полигамма-функции при положительных целых : , , функция Клаузена: .
Частные значения Точные значения многих точек функции Лерха, не сводящейся к более простым функциям, не вычислены, однако некоторые из них и точек её производной известны: , где — постоянная Каталана , где — постоянная Глейшера — Кинкелина.
Интегральные представления Интегральное представление трансцендентной функции Лерха:
Доказательство основано на использовании интегрального определения гамма-функции, которое можно записать следующим образом:
и затем поменять местами сумму и интеграл. Полученное интегральное представление сходится при и . Оно аналитически продолжает на вне единичного круга. Интегральная формула также верна, если , и ; см. дзета-функцию Гурвица.
Представление в виде контурного интеграла задаётся формулой:
,
где — контур Ганкеля против часовой стрелки вокруг положительной действительной оси, не включающий ни одну из точек (при целых ), которые являются полюсами подынтегрального выражения. Интеграл предполагает, что .
Интегральное представление типа Эрмита задаётся формулой
при
и
при .
Аналогичные представления включают, например:
, и , справедливые для положительных значений (и, в более общем случае, всюду, где сходятся интегралы).
Более того (формула Липшица): .
Тождества При рациональном слагаемое является корнем из единицы, и, таким образом, может быть выражена как конечная сумма по дзета-функции Гурвица. Предположим, с и . Затем и :
Некоторые другие тожества: , , .
Также функция проявляется при интегрировании: , .
Разложения в ряд Разложение в ряд трансцендентной функции Лерха задаётся формулой: ,
где — биномиальный коэффициент.
Ряд сходится при всех и комплексных с . Имеет место сходство с аналогичным представлением ряда для дзета-функции Гурвица.
Ряд Тейлора по первому параметру был предложен Артуром Эрдейи, в однои из вариантов он записывается в виде следующего ряда, справедливого при:
.
Если — положительное целое число, то:
,
где — дигамма-функция.
Ряд Тейлора по третьей переменной задаётся формулой
где — символ Похгаммера.
Ряд при задаётся формулой:
Частный случай при имеет следующее разложение: ,
где — полилогарифм.
Асимптотический разложение при
при и:
при .
Асимптотическое разложение с использованием неполной гамма-функции:
при .
Представление в виде обобщённой гипергеометрической функции имеет вид:
.
Асимптотическое разложение Функция полилогарифма определяется как:
.
Пусть:
При и , асимптотическое разложение для больших и фиксированных и задаётся как:
при , где — символ Похгаммера.
Пусть: . Пусть также коэффициентами ряда Тейлора этой функции в точке . Тогда для фиксированного и :
при .
Примечания
Литература . . (See § 1.11, «The function Ψ(z,s,v)», p. 27)
. (Includes various basic identities in the introduction.) . . .
Ссылки . Ramunas Garunkstis, Home Page (2005) (Provides numerous references and preprints.)
Weisstein, Eric W. «Lerch Transcendent». MathWorld.
Категория:Дзета- и L-функции