Функция Клаузена — трансцендентная специальная функция одной переменной; в основной форме (функция Клаузена второго порядка) задаётся интегралом: .
Введена Томасом Клаузеном в 1832 году; в дальнейшем получила ряд обобщений, образовав целый класс, идентифицируемый как функции Клаузена. Функции этого класса могут быть выражена в виде определённого интеграла, тригонометрического ряда и в других формах; тесно связаны с полилогарифмом, интегральным арктангенсом полигамма-функцией, дзета-функцией Римана, эта-функцией Дирихле и бета-функцией Дирихле. Широко используются во многих областях современных математических исследований, в частности в связи с вычислением многих классов логарифмических и полилогарифмических интегралов, как определённых, так и неопределённых. Они также имеют многочисленные приложения, связанные с суммированием гипергеометрических рядов, суммированием с обратным центральным биномиальным коэффициентом, суммированием полигамма-функций и L-рядов Дирихле
Основные свойства В диапазоне синус под знаком модуля в определении функции Клаузена второго рода остаётся строго положительным, поэтому модуль можно опустить. Представление в виде ряда Фурье:
Имеет простые нули во всех точках вида , так как если , то :
Максимумы достигаются при : , а минимумы — в : .
Следующие свойства являются непосредственными следствиями определения в виде ряда:
Класс функций Клаузена Две обобщённые функции Клаузена определяются следующим образом: , , они сходятся при комплексных с . Определение может быть продолжено на всю комплексную плоскость посредством аналитического продолжения.
Если заменить на неотрицательное целое число, можно определить стандартные функции Клаузена следующими рядами Фурье:
Sl-функции Клаузена имеют альтернативную запись: и иногда называются функциями Глейшера — Клаузена в честь Джеймса Уитбреда Ли Глейшера.
Связь с многочленами Бернулли SL-функции Клаузена' представляют собой многочлены от и тесно связаны с многочленами Бернулли, которая видна из представлений многочленов Бернулли в виде ряда Фурье: , . Введение замены и перестановка членов дают следующие выражения в замкнутом виде: , ,
где многочлены Бернулли определяются через числа Бернулли по соотношению: .
Из этой связи следуют, в частности, соотношения: , , , .
Формула двойного аргумента При формулу двойного аргумента можно доказать непосредственно из определения интеграла: .
Обозначив константу Каталана через , непосредственные следствия формулы удвоения включают соотношения: , .
Для функций Клаузена более высокого порядка формулы удвоения можно получить из приведенной выше, заменив с фиктивной переменной и интегрируя по интервалу ; повторное применение того же процесса даёт: , , , .
И в более общем смысле, при индукции по : .
Использование общей формулы двойного аргумента позволяет расширить результат для функции Клаузена 2-го порядка, использовав константу Каталана. При : ,
где — бета-функция Дирихле.
Производные функций Клаузена произвольного порядка Прямое дифференцирование рядов Фурье для функций Клаузена: , , , .
Применение теоремы Ньютона — Лейбница даёт: .
Связь с интегральным арктангенсом Интегральный арктангенс определяется на интервале как: .
В терминах функций Клаузена он имеет следующий замкнутый вид: .
Связь с G-функцией Барнса Для вещественного функция Клаузена второго порядка может быть выражена через G-функцию Барнса и гамма-функцию: ,
или, что то же самое:
Связь с полилогарифмом Функции Клаузена представляют собой действительную и мнимую части полилогарифма на единичной окружности: , .
Связь следует из определения полилогарифма через ряд: ; по теореме Эйлера: , и по формуле Муавра: ; следовательно: , .
Связь с полигамма-функцией Функции Клаузена тесно связаны с полигамма-функцией, их можно выразить в виде линейных комбинаций синусоид и полигамма-функций. Приведём одно из таких соотношений: .
Непосредственным следствием является эквивалентная формула в терминах дзета-функции Гурвица: .
Связь с обобщённым log-sin-интегралом Обобщенный log-sin-интеграл определяется как: .
С помощью этой нотации функция Клаузена может быть выражена в виде:
Соотношение Куммера Эрнст Куммер и Роджерс установили следующее соотношение: , верное при .
Связь с функцией Лобачевского Функция Лобачевского по сути является той же функцией с заменой переменной: .
Связь с L-функциями Дирихле Для рациональных значений (то есть, для при некоторых целых числах и ) функция может быть рассмотрена как представление периодической орбиты элемента в циклической группе, и, таким образом, можно выразить как простую сумму, включающую дзета-функцию Гурвица. Это позволяет легко вычислять соотношения с некоторыми L-функциями Дирихле.
Ускорение сходимости рядов Ускорение сходимости для функции Клаузена можно произвести следующим образом: , что справедливо при . Здесь — дзета-функция Римана. Более быстро сходящаяся форма имеет вид:
.
Сходимости способствует тот факт, что быстро стремится к нулю при больших значениях . Обе формы можно получить с помощью методов пересуммирования, используемых для получения рациональных дзета-рядов.
Частные значения Некоторые значение, записанные с использованием G-функции Барнса, постоянной Каталана и постоянной Гизекинга :
В общем случае из формулы отражения G-функции Барнса следует: .
Эквивалентно, с использованием формулы отражения Эйлера для гамма-функции, получаются значения:
Частные значения в общих случаях Некоторые частные значения для функций Клаузена высшего порядка: , , , , ,
где — бета-функция Дирихле, — эта-функция Дирихле (также называемая знакопеременной дзета-функцией), и — дзета-функция Римана.
Интегралы функции Решения интегралов, следующие из представлений функции Клаузена в виде ряда: , , , .
Методы анализа Фурье можно использовать для нахождения первых интегралов с квадратом функции на интервале ( — дзета-функция нескольких переменных):: , , .
Интегралы с функцией Клаузена как результатом Большое количество тригонометрических и логарифмо-тригонометрических интегралов можно вычислить с помощью функции Клаузена и различных распространённых математических констант, таких как (константа Каталана), и частные случаи дзета-функции и .
Непосредственно из интегрального представления функции Клаузена следуют: , , , , , , .
Примечания
Литература
Leonard Lewin, (Ed.). Structural Properties of Polylogarithms (1991) American Mathematical Society, Providence, RI. ISBN 0-8218-4532-2
Категория:Дзета- и L-функции