Гипотеза о кручении (гипотеза о равномерной ограниченности точек кручения) — математическая гипотеза о том, что порядок группы кручения абелева многообразия над числовым полем может быть ограничен в терминах размерности многообразия и числового поля. Усиление гипотезы заключается в том, что кручение ограничивается в терминах размерности многообразия и степени числового поля. Гипотеза о кручении полностью подтверждена для эллиптических кривых.
Эллиптические кривые С 1906 по 1911 год Беппо Леви установил, что существует бесконечно много эллиптических кривых над рациональными числами со следующими группами кручения: при , где обозначает циклическую группу порядка ; ; при , где обозначает прямую сумму.
На Международном математическом конгрессе 1908 года в Риме Леви высказал гипотезу, что этот список групп кручения для эллиптических кривых над рациональными числами полон. Гипотеза о кручении для эллиптических кривых над рациональными числами была независимо переформулирована в 1952 году и затем независимо , благодаря которому стала широко известна как гипотеза Огга.
В 1971 году Огг установил связь между гипотезой о кручении для эллиптических кривых над рациональными числами и теории классических модуляных кривых. В начале 1970-х годов в работах Жерара Лигоза, Дэниэла Куберта, Барри Мазура и Джона Тейта показано, что некоторые малые значения не появляются в качестве порядков точек кручения эллиптических кривых над рациональными числами. Барри Мазур (1977, 1978) доказал полную гипотезу о кручении для эллиптических кривых над рациональными числами. Его методами были обобщены Каменным (1992) и Камменным и Мазуром (1995), получившими равномерную ограниченность для квадратичных полей и числовых полей степени не более 8 соответственно. Наконец, Лоик Мерель (1996) доказал гипотезу для эллиптических кривых над любым числовым полем: если — числовое поле степени и эллиптическая кривая то существует ограничение на порядок группы кручения, зависящее только от степени . Более того, если точка с порядком простого числа имеет место .
Полезная оценка мощности группы кручения в терминах степени числового поля была дана Парентом (1999): при точки с порядком степени простого числа выполнено
Параметр получен исходя из структуры результата, лежащего в основе теоремы Морделла — Вейля, то есть два целых числа такие, что , грубая, но полезная граница есть
Джозеф Эстерле в личных заметках 1994 года дал несколько лучшую оценку для точек простого порядка при , что оказывается полезным для вычислений над полями малого порядка, но одного этого недостаточно, чтобы получить эффективную границу для . В 2023 году опубликована другая версия результата Эстерле.
Для числовых полей малой степени известны более точные результаты, полученные Сазерлендом в 2012 году. Полный список возможных групп кручения был приведён для эллиптических кривых над и для квадратичных и кубических числовых полей. При степени 1 и 2 все возникающие группы встречаются бесконечно много раз. То же самое справедливо и для кубических полей за исключением группы C21, которая встречается только в одной эллиптической кривой над . Для числовых полей четвёртого и пятого порядка определены группы кручения, возникающие бесконечно много раз. В следующей таблице представлено множество всех простых чисел , которые возникают как порядок точек кручения , где обозначает множество всех простых чисел, не превышающих q (Дерикс и др. (2023) и Хаваджа (2024)). +Простые числа, возникающие как порядки точек кручения при малых степенях 1 2 3 4 5 6 7 8 В следующей таблице представлено множество всех простых чисел , возникающих бесконечно много раз в качестве порядке точки кручения (Дерикс и др. (2023)). +Простые числа, встречающиеся бесконечно много раз как порядки точек кручения при малых степенях 1 2 3 4 5 6 7 8 Барри Мазур выступил с обзорным докладом о гипотезе кручения по случаю вступления Огга в должность профессора в Институте перспективных исследований в октябре 2022 года.
См. также Гипотеза Бомбьери — Лэнга Гипотеза равномерной ограниченности для предпериодических точек Гипотеза равномерной ограниченности для рациональных точек
Примечания
Литература
Категория:Диофантова геометрия Категория:Математические гипотезы Категория:Абелевы многообразия