Алгебраическая скобка или скобка Нийенхейса–Ричардсона — это структура градуированной алгебры Ли на пространстве знакопеременных полилинейных форм векторного пространства, введённая А. Нийенхейсом и Р. В. Ричардсоном-младшим (1966, 1967). Она родственна скобкам Фрёлихера–Нийенхейса и Схоутена–Нийенхейса, но не тождественна им.
Определение Основной мотивацией введения скобок была разработка единой модели для обсуждения всех возможных структур алгебры Ли на векторном пространстве, а затем и деформаций этих структур. Если V — векторное пространство, а — целое число, пусть
– пространство всех кососимметричных -полилинейных отображений V в себя. Прямая сумма Alt(V) является градуированным векторным пространством . Структура алгебры Ли на V определяется кососимметричным билинейным отображением . То есть, μ является элементом Alt1(V). Более того, μ должно подчиняться тождеству Якоби. Скобка Нейенхейса–Ричардсона даёт систематический способ выражения этого тождества в виде .
Более подробно, скобка представляет собой билинейную скобочную операцию, определяемую на Alt(V) следующим образом. На однородных элементах и скобка Нийенхейса–Ричардсона задаётся формулой
Здесь внутреннее произведение iP определяется как
где обозначает -перестановки индексов, то есть перестановки из такой что и .
На неоднородных элементах скобка расширяется по билинейности.
Дифференцирования кольца форм Скобка Нийенхейса–Ричардсона может быть определена на векторнозначных формах Ω*(M, T(M)) на гладком многообразии M аналогичным образом. Векторнозначные формы действуют как дифференцирования на суперкоммутативном кольце Ω*(M) форм на M, переводя K в дифференцирование iK, и скобка Нийенхейса–Ричардсона тогда соответствует коммутатору двух дифференцирований. Это отождествляет Ω*(M, T(M)) с алгеброй дифференцирований, обращающихся в нуль на гладких функциях. Не все дифференцирования имеют такой вид; о структуре полного кольца всех дифференцирований (смотри статью Скобка Фрёлихера–Нийенхейса).
Скобка Нийенхейса–Ричардсона и скобка Фрёлихера–Нийенхейса превращают Ω*(M, T(M)) в градуированную супералгебру, но имеют разные степени.
Ссылки
Категория:Алгебры Ли Категория:Билинейные операторы