Ядро Дирихле — -периодическая функция, задаваемая следующей формулой:
Функция названа в честь французско-немецкого математика Дирихле. Данная функция является ядром, свёртка с которым даёт частичную сумму тригонометрического ряда Фурье. Это позволяет аналитически оценивать соотношения между исходной функцией и её приближениями в пространстве .
Соотношение с рядом Фурье Пусть — интегрируема на и -периодическая, тогда
Эта формула является одной из важнейших в теории рядов Фурье.
Доказательство Рассмотрим n-ную частичную сумму ряда Фурье.
Применяя формулу косинуса разности к выражению, стоящему под знаком суммы, получим:
Рассмотрим сумму косинусов:
Умножим каждое слагаемое на и преобразуем по формуле
Применяя это преобразование к формуле (4), получим:
Сделаем замену переменного
Свойства ядра Дирихле — функция -периодическая и четная.
Примечания
См. также Сопряжённое ядро Дирихле Ядро Фейера Ядро Джексона
Категория:Математический анализ Категория:Теория приближений