Технология вложенных замен используется для конструирования элементарных плотностей.
Элементарные плотности распределения При заданной плотности распределения для получения вычислимой (то есть представляющей собой композицию элементарных функций от стандартного случайного числа ) формулы метода обратной функции распределения нужно разрешить уравнение
относительно верхнего предела интегрирования в элементарных функциях. Если такое решение удается получить, то плотность называется элементарной.
Здесь — стандартное случайное число, то есть выборочное значение случайной величины , равномерно распределенной в интервале (это выборочное значение реализуется на компьютере с помощью соответствующего генератора — специальной подпрограммы, именуемой в языках программирования как RAND или RANDOM).
Конструирование элементарных плотностей: технология вложенных замен Существует простой аналитический способ — технология вложенных замен — для получения неограниченного количества элементарных плотностей, которую можно описать следующим образом.
Рассмотрим случайную величину с элементарной плотностью распределения ; это означает, что из уравнения можно получить вычислимое на компьютере выражение (в виде композиции элементарных функций).
Возьмем взаимнооднозначное преобразование интервала в интервал , задаваемое монотонной (возрастающей или убывающей) дифференцируемой функцией ; причем и сама функция , и ее производная , и обратная к ней функция могут быть представлены в виде композиций элементарных функций.
Рассмотрим новую случайную величину , распределенную согласно плотности
При сделанных предположениях можно утверждать, что плотность является элементарной; соответствующая формула метода обратной функции распределения имеет вид
Действительно, для возрастающей функции (для случая убывающей функции выкладки аналогичны) с помощью правила замены переменных под знаком интеграла получаем, что уравнение вида последовательно преобразуется следующим образом:
что дает выписанную выше формулу для .
ПРИМЕР. Рассмотрим случайную величину , распределенную согласно плотности экстремального (точнее, минимального) значения, известной из теории порядковых статистик:
Эта элементарная плотность получается из плотности экспоненциального распределения (с моделирующей формулой ) с помощью замены ; поэтому соответствующая моделирующая формула имеет вид .
С помощью технологии вложенных (последовательных) замен можно получать неограниченное количество новых плотностей элементарных распределений, так как в описанном выше процессе в качестве исходной плотности можно взять преобразованную плотность и т. д.
См. также Стандартный метод моделирования непрерывной случайной величины Преобразование Бокса — Мюллера Алгоритм Зиккурат Метод Монте-Карло
Литература Соболь И. М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1974. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982.* Михайлов Г. А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. М.: Наука, 1988.* Михайлов Г. А., Войтишек А. В. Численное статистическое моделирование. Методы Монте-Карло. М.: Академия, 2006. Войтишек А. В. Лекции по численным методам Монте-Карло. Новосибирск: НГУ, 2018. Михайлов Г. А., Войтишек А. В. Статистическое моделирование. Методы Монте-Карло. М.: Юрайт, 2025.
Категория:Преобразования Категория:Генераторы псевдослучайных чисел Категория:Теория вероятностей