В прикладной статистике преобразование, стабилизирующее дисперсию, это преобразование данных, которое было выбрано либо для упрощения графического разведочного анализа данных, либо сделать применимыми методы на основе простой регрессии или дисперсионного анализа.
Общие сведения
Цель, стоящая за выбором преобразования, стабилизирующего дисперсию, — это найти такую простую функцию , чтобы применив её к значениям из набора данных, создать новые значения такие, что вариация значений не зависит от их среднего значения. Например, предположим, что значения — это реализации различных распределений Пуассона: т.е. у распределений различные средние значения . Тогда, поскольку дисперсия распределения Пуассона равна его среднему, то дисперсия будет изменяться вместе со средним. Тем не менее, если применить простое преобразование, стабилизирующее дисперсию , то дисперсия наблюдений будет примерно постоянной: за подробностями и другими примерами преобразований см. .
Для некоторых распределений, как распределение Пуассона или биномиальное, преобразования, стабилизирующие дисперсию, широко известны, для других типов данных применяется эмпирический подход: например, поиск среди . Как вариант, если анализ данных предполагает функциональную форму для отношения между дисперсией и средним, то это можно использовать для вывода преобразования, стабилизирующее дисперсию. Например, если для среднего , , то подходящим базисом для преобразования, стабилизирующего дисперсию, будет , где для удобства можно выбрать произвольную константу интегрирования и произвольный параметр масштаба.
Пример: относительная дисперсия Если — положительная случайная величина и её дисперсия выражается как , — некоторая константа, тогда стандартное отклонение пропорциональному среднему, что называется фиксированной . В этом случае преобразование, стабилизирующее дисперсию, следующее: . Здесь, преобразование, стабилизирующее дисперсию, — это логарифмическое преобразование.
Пример: абсолютная плюс относительная дисперсия Если дисперсия выражена как , то при достаточно малом дисперсия в основном определяется фиксированной дисперсией , а когда достаточно велико, в основном определяется относительной дисперсией . В этом случае преобразование, стабилизирующее дисперсию следующее: . В таком случае преобразование, стабилизирующее дисперсию, — это обратный гиперболический синус масштабированного значения , где .
Пример: корреляция Пирсона Преобразование Фишера — это преобразование, стабилизирующее дисперсию, для коэффициента корреляции Пирсона.
Связь с дельта-методом Здесь дельта-метод приведён не строго, просто для демонстрации связи с преобразованиями, стабилизирующими дисперсию. Для более формального определения дельта-метода см. дельта-метод (статистика).
Пусть — случайная величина, с и . Введём , где дифференцируемая в окрестности функция. Приближение Тейлора первого порядка для следующее: .
Из уравнения выше получаем: и . Это приближение называется дельта-методом.
Рассмотрим случайную величину такую, что и . Обратим внимание на отношение между дисперсией и средним, что указывает, например, на гетероскедастичность в линейной модели. Тогда цель — найти такую функцию , что у дисперсия не зависит (хотя бы приблизительно) от матожидания .
Учитывая условие , из этого равенства следует дифференциальное уравнение: .
Это обычное дифференциальное уравнение решается методом разделения переменных: .
Это выражение впервые появилось в работе .
Примечания