Положительный многочлен (неотрицательный многочлен) на заданном множестве — это многочлен, значения которого на этом множестве положительны (соответственно, неотрицвтельны). Пусть — многочлен от переменных с вещественными коэффициентами и пусть будет подмножеством -мерного евклидова пространства . Мы говорим, что: многочлен положителен на , если для любого из . многочлен неотрицателен на , если для любого из .
Теоремы об области положительности Для заданного множества существует алгебраическое описание всех многочленов, которые принимают положительные (соответственно, неотрицательные) значения на этом множестве. Такое описание называется positivstellensatz (соответственно, nichtnegativstellensatz), что можно перевести как «теоремы об области положительности». Важность «теорем об области положительности» в вычислениях обусловлена их способностью преобразовывать задачи полиномиальной оптимизации в задачи полуопределённого программирования, которые эффективно решаются с помощью техник выпуклого программирования. В эрмитовом случае Путинар заметил, что получающиеся задачи полуопределённого программирования сходятся асимптотически и сводятся к вычислению наибольших собственных значений явно заданных матриц, что решается более эффективно, чем общие задачи полуопределённого программирования.
Примеры Положительные многочлены в евклидовом пространстве Действительный многочлен от одной переменной неотрицателен на множестве тогда и только тогда, когда он является действительных многочленов от одной переменной. Это утверждение не распространяется на полиномы от нескольких переменных, что изначально было продемонстрировано Гильбертом. Явный пример такого полинома не был известен до 1967 года, когда показал, что не является суммой квадратов полиномов, но при этом неотрицателен на , что следует из неравенства о среднем квадратическом, арифметическом, геометрическом и гармоническом.
В более высоких размерностях вещественный многочлен от переменных неотрицателен на тогда и только тогда, когда он является суммой квадратов вещественных рациональных функций от переменных. Это утверждение было первоначально сформулировано как семнадцатая проблема Гильберта в 1900 году и было доказано Эмилем Артиныи в 1927.
Для однородных многочленов можно получить более подробную информацию о знаменателе. Предположим, что является однородным многочленом степени 2k. Если он положителен на , то существует целое число , такое что является суммой квадратов однородных полиномов степени .
Положительные многочлены на политопах Для многочленов степени не выше мы имеем следующий вариант леммы Фаркаша: Если имеют степень и для любого , удовлетворяющего условию , то существуют неотрицательные действительные числа такие, что .
Для многочленов более высокой степени на симплексе Пойа показал, что если однороден и положителен на множестве , то существует целое число , такое что имеет неотрицательные коэффициенты.
Для многочленов более высоких степеней на общих компактных политопах существует теорема Хендельмана: Если — компактный политоп в -мерном евклидовом пространстве, заданный линейными неравенствами , и если — многочлен от переменных, положительный на , то многочлен может быть представлен как линейная комбинация с неотрицательными коэффициентами произведений элементов множества .
Положительные многочлены на полуалгебраических множествах Для общих полуалгебраических множеств наиболее общим результатом является .
Для компактных полуалгебраических множеств существуют , и теорема Василеску об области положительности.
Для достаточно «хороших» компактных полуалгебраических множеств низкой размерности существует теорема об области положительности, не требующая знаменателей.
Положительные многочлены Эрмита Многочлен от комплексных переменных и их сопряжённых эрмитов, если он принимает только действительные значения для любых значений . Он является эрмитовой суммой квадратов, если его можно представить в виде для некоторых многочленов от переменных . Квиллен показал, что любой строго положительный однородный эрмитов многочлен является эрмитовой суммой квадратов рациональных функций, знаменателем которых является квадрат нормы . Позднее Путинар обобщил это утверждение на гораздо более широкий класс пространств, включая все комплексные проективные многообразия. В эрмитовом случае представление в виде эрмитовой суммы квадратов единственно, если оно существует, и может быть найдено путём диагонализации явно заданной эрмитовой матрицы, что впервые отметил Путинар.
Обобщения теоремы об области положительности Теорема об области положительности существует также для , тригонометрических многочленов, полиномиальных матриц, полиномов со свободными переменными , квантовых многочленов и определяемых функциях на .
См. также
Семнадцатая проблема Гильберта Теорема Гильберта о нулях for algebraic descriptions of polynomials that are zero on a set S.
Примечания
Литература
Диссертация
См. Теорему 1.3.1.
Литература для дальнейшего чтения Bochnak, Jacek; Coste, Michel; Roy, Marie-Françoise. Real Algebraic Geometry. Translated from the 1987 French original. Revised by the authors. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], 36. Springer-Verlag, Berlin, 1998. . Marshall, Murray. "Positive polynomials and sums of squares". Mathematical Surveys and Monographs, 146. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. , .
Категория:Вещественная алгебраическая геометрия