Теорема Кузена — утверждение вещественного анализа, изначально сформулированное для плоскости в следующем виде: если для любой точки замкнутой (ограниченной) области задан круг конечного радиуса, содержащий эту точку, то область может быть разделена на конечное число подобластей так, что каждая подобласть будет находиться внутри одного из заданных кругов и содержать в себе его центрHildebrandt 1925, p. 29. Результат естественным образом обобщается на -мерное евклидово пространство и позволяет расширить лемму Гейне — Бореля о компактности на произвольные покрытия компактных подмножеств в .
Установлена учеником Пуанкаре в 1895 году. Автор не получил какого-либо признания за результат, в литературе первой половины XX века он приписывался Лебегу, а утверждение фигурировало как теорема Бореля — Лебега; при этом Лебег был знаком с утверждением ещё в 1898 году и доказал его в более точной формулировке в диссертации 1903 года
Общая формулировка для отрезка в : для полного покрытия отрезка (то есть такого набора подотрезков , что для любого найдётся , при котором ) существует конечное разбиение , где , причём при всех . В этом варианте существует относительно простое доказательство от противного с применением метода дихотомии и принципа вложенных отрезков. С точки зрения теорема оказывается одной из труднодоказуемых, поскольку выражается на языке арифметики третьего порядка и требует для доказательства полную арифметику второго порядка.
Интеграл Курцвейля — Хенстока В рамках построения интеграла Курцвейля — Хенстока теорема Кузена используется в качестве леммы, гарантирующей существование отмеченных разбиений отрезка, согласованных с заданным масштабом.
Масштабом на называется строго положительная функция , а отмеченным разбиением называется конечный набор пар вида , где и . Отмеченное разбиение называется согласованным с масштабом (или -тонким), если при любом интервал вложен в интервал . По теореме Кузена для любого отрезка и любого масштаба на нём найдётся согласованное с ним отмеченное разбиение.Bartle 2001, p. 11
Примечания
Литература Hildebrandt, T. H. (1925). The Borel Theorem and its Generalizations In J. C. Abbott (Ed.), The Chauvenet Papers: A collection of Prize-Winning Expository Papers in Mathematics. Mathematical Association of America. Raman, M. J. (1997). Understanding Compactness: A Historical Perspective, Master of Arts Thesis. University of California, Berkeley. . Bartle, R. G. (2001). A Modern Theory of Integration, Graduate Studies in Mathematics 32, American Mathematical Society.
Категория:Математический анализ Категория:Вещественные числа