Ангармоничность — это отличие системы от гармонического осциллятора. Осциллятор, не совершающий гармонических колебаний, называется ангармоническим осциллятором, если система аппроксимируется гармоническим осциллятором, а ангармоничность может быть рассчитана с помощью теории возмущений. Если ангармоничность велика, то необходимо использовать другие численные методы. В действительности все колеблющиеся системы являются ангармоническими, но большинство аппроксимируют гармонический осциллятор, чем меньше амплитуда колебаний.
В результате возникают колебания с различными частотами и и так далее, где — основная частота осциллятора. Кроме того, частота отклоняется от частоты гармонических колебаний. См. также интермодуляцию и комбинационные тоны. В качестве первого приближения — сдвиг частоты пропорциональна квадрату амплитуды колебаний :
В системе осцилляторов с собственными частотами , … ангармоничность приводит к дополнительным колебаниям с разными частотами .
Ангармоничность также изменяет энергетический профиль резонансной кривой, что приводит к нелинейному резонансу и появлению обертонов.
Общий принцип
Осциллятор — это физическая система, характеризующаяся периодическим движением, например, маятник, камертон или вибрирующая двуатомная молекула. С математической точки зрения, существенная особенность осциллятора заключается в том, что для некоторой координаты системы сила, величина которой зависит от будет отталкивать от крайних значений и возвращать его к некоторому центральному значению вызывая колебания между крайними значениями. Например, может представлять собой смещение маятника из его положения покоя По мере увеличения абсолютного значения увеличивается и возвращающая сила, действующая на маятник и толкающая его обратно в положение покоя.
В гармонических осцилляторах восстанавливающая сила пропорциональна по величине (и противоположна по направлению) смещению от его естественного положения равновесия . Полученное дифференциальное уравнение подразумевает, что должен колебаться синусоидально во времени с периодом колебаний, присущим системе. может колебаться с любой амплитудой, но всегда будет иметь один и тот же период.
Однако ангармонические осцилляторы характеризуются нелинейной зависимостью восстанавливающей силы от смещения . Следовательно, период колебаний ангармонического осциллятора может зависеть от его амплитуды колебаний. В частности нелинейность ангармонических осцилляторов вызывает изменение частоты колебаний в зависимости от смещения системы. Эти изменения частоты колебаний приводят к передаче энергии от основной частоты колебаний к другим частотам посредством процесса, известного как параметрическая связь.
Рассматривая нелинейную восстанавливающую силу как функцию смещения от его естественного положения, мы можем заменить её линейным приближением при нулевом смещении. Аппроксимирующая функция является линейной, поэтому она будет описывать простое гармоническое движение. Кроме того, эта является точной, когда мало. По этой причине ангармоническое движение можно аппроксимировать как гармоническое движение для малых колебаний.
Примеры из физики Существует множество систем, которые, помимо нелинейной системы «масса-пружина», проявляют себя как ангармонические осцилляторы. Например, атом, состоящий из положительно заряженного ядра, окруженного отрицательно заряженным электронным облаком, испытывает смещение между центром масс ядра и электронным облаком при наличии электрического поля. Величина этого смещения, называемая электрическим дипольным моментом, линейно связана с приложенным полем для малых полей, но по мере увеличения величины поля зависимость поля от дипольного момента становится нелинейной, как и в механической системе.
К другим примерам относятся: маятник с большим углом наклона; неравновесные полупроводники, обладающие большой концентрацией горячих носителей заряда, которые демонстрируют нелинейное поведение различных типов, связанное с эффективной массой носителей; и ионосферная плазма, которая также демонстрирует нелинейное поведение, основанное на ангармоничности плазмы, а также поперечные колеблющиеся струны. Фактически, практически все осцилляторы становятся ангармоническими, когда амплитуда их накачки превышает некоторый пороговый уровень, и поэтому для описания их поведения необходимо использовать нелинейные уравнения движения.
Ангармоничность играет роль в колебаниях решётки и молекул, в квантовых осцилляциях и в акустике. Атомы в молекуле или твёрдом теле колеблются вокруг своих положений равновесия. Когда эти колебания имеют малые амплитуды, их можно описать гармоническими осцилляторами. Однако, когда амплитуды колебаний велики, например, при высоких температурах, ангармоничность становится значительной. Примером эффектов ангармоничности является тепловое расширение твёрдых тел, которое обычно изучается в рамках квазигармонического приближения. Изучение колеблющихся ангармонических систем с помощью квантовой механики является вычислительно сложной задачей, поскольку ангармоничность не только усложняет потенциал, испытываемый каждым осциллятором, но и вводит связь между осцилляторами. Можно использовать методы первых принципов, такие как теория функционала плотности, для отображения ангармонического потенциала, испытываемого атомами как в молекулах, так и в твёрдых телах. Точные ангармонические колебательные энергии затем можно получить, решив ангармонические колебательные уравнения для атомов в рамках теории среднего поля. Наконец, можно использовать теорию возмущений Мёллера — Плессета, чтобы выйти за рамки формализма самосогласованного поля.
Период колебаний Для массы перемещающейся в потенциальной яме период колебаний может быть получен из интеграла где крайние точки движения задаются следующим образом: и .
Примечания
Категория:Классическая механика Категория:Википедия:Страницы с непроверенными переводами