В электромагнетизме уравнения Панофски — Филлипс (), названные в честь Вольфганга Панофски и Мельбы Филлипс, дают выражение для электрического поля E и магнитного поля B, создаваемых произвольным распределением электрических зарядов и токов в пространстве. Это зависящее от времени обобщение закона Кулона для электрического поля и закона Био — Савара для магнитного поля. Данные уравнения представляют собой общее решение уравнений Максвелла для произвольного распределения зарядов и токов и, в частности, учитывают запаздывание, связанное с конечной скоростью распространения полей E и B в пространстве (эти поля распространяются в вакууме со скоростью света, обозначаемой c).
Эти уравнения впервые появились в 1962 году во втором издании книги «Classical Electricity and Magnetism»Wolfgang K. H. Panofsky, Melba Phillips, Classical Electricity And Magnetism, Addison-Wesley (2nd ed., 1962), Section 14.3: The radiation fields Панофски и Филлипс; они эквивалентны уравнениям Ефименко (опубликованным в 1966 году), хотя их формальные выражения для поля E различаютсяKirk T. McDonald, The Relation Between Expressions for Time-Dependent Electromagnetic Fields Given by Jefimenko and by Panofsky and Phillips, Joseph Henry Laboratories, Princeton University, Princeton, NJ 08544 (Dec. 5, 1996; updated May 11, 2018).
Уравнения Обозначим через ρ объёмную плотность электрического заряда в каждой точке объёма V пространства, а через J — объёмную плотность электрического тока.
Если рассматривать поля E и B, создаваемые в точке M произвольным распределением зарядов и токов, содержащихся в объёме V, и обозначить через r расстояние от каждой точки-источника до M, а через n — единичный вектор, направленный от точки-источника к M, то уравнения Панофски — Филлипс дают (в точке M):
где: , и
В этих уравнениях:
— электрическая постоянная (диэлектрическая проницаемость вакуума) ( = 8,854 187 82 10−12 Ф/м) c — скорость света в вакууме (c = 299 792 458 м/с) — производная по времени вектора плотности тока в данной точке
Анализ Из этих уравнений можно сделать четыре основных выводаФейнмановские лекции по физике, том 2, гл. 28: Электромагнитное излучение:
Распространение и запаздывание В различных источниках электромагнитные поля, фигурирующие в уравнениях Панофски — Филлипс (ρ, и ), систематически записываются в квадратных скобках […], что означает необходимость рассматривать их значение в прошлый (так называемый запаздывающий) момент времени t' = (t — r/c), а не в настоящий момент t.
Это отражает тот факт, что электрическое и магнитное поля распространяются с конечной скоростью c, равной 299 792 458 м/с. Таким образом, между изменением источников и вызванными ими эффектами в другой точке пространства всегда существует некоторая задержка. Эта задержка равна времени распространения полей от источника до приёмника, r/c. Запаздывание можно также проиллюстрировать с помощью волновых уравнений, выводимых из уравнений Максвелла.
Физическая интерпретация каждого члена В формуле электрического поля E присутствуют три члена: первый член связан с запаздывающим положением зарядов-источников (в нём узнаётся закон Кулона, записанный в запаздывающий момент времени t) ; второй член связан с запаздывающей скоростью зарядов-источников. Он вносит поправку в запаздывающее кулоновское поле (первый член), компенсируя эффекты запаздывания в случае, когда токи постоянны во времени ( = 0). Одно из примечательных свойств этого члена состоит в том, что он обращается в нуль, когда одновременно div(J) = 0 и = 0 (то есть в стационарном режиме); третий член вызван ускорением зарядов-источников (в запаздывающий момент времени) (его можно назвать «полем ускорения»).
Аналогично, в формуле магнитного поля B присутствует первый член, связанный со скоростью зарядов-источников (запаздывающий закон Био — Савара), и второй член, вызванный их ускорением.
Разделение на ближнее поле и излучаемое поле Различные члены этих полей можно разделить на две категории: одни убывают как 1/r² (обратно пропорционально квадрату расстояния — такие члены можно назвать «ближним полем», поскольку они существенны лишь вблизи источников), тогда как другие убывают как 1/r (это поля ускорения, называемые также «излучаемыми» полями, которые становятся всё более преобладающими по мере удаления от источников за счёт более медленного убывания с расстоянием).
Зелёным цветом выделено ближнее поле (убывание как 1/r²). Красным цветом выделено излучаемое поле (убывание как 1/r).
Отметим, что поля, связанные с положением и скоростью зарядов-источников, убывают как 1/r², тогда как поля, связанные с ускорением зарядов-источников, убывают как 1/r.
В зоне дальнего поля (то есть при r >> λ) членами порядка 1/r² можно пренебречь по сравнению с членами порядка 1/r, что позволяет упростить вычисление электромагнитного поля (см. ближнюю и дальнюю зону). В этом случае выражение для излучаемых полей сводится к:
где сохраняются только излучаемые поля.
В зоне ближнего поля (r << λ) поля можно вычислить с помощью квазистационарного приближения. Именно в этой зоне проявляются такие явления, как электромагнитная масса, электромагнитная индукция и сила Абрахама — Лоренца.
Свойства излучаемых полей «Излучаемые» члены, составляющие то, что называется электромагнитным излучением, всегда порождаются изменениями тока во времени, то есть ускоренными зарядами. Таким образом, электрический заряд, движущийся без ускорения, не создаёт никакого поля E или B, убывающего как 1/r.
Кроме того, излучение направленно (анизотропно): амплитуда излучаемых полей зависит от направления наблюдения (она равна нулю вдоль оси ускорения и максимальна в плоскости, перпендикулярной ускорению). Эту особенность можно проиллюстрировать на примере полей, создаваемых колеблющимся диполем:
(Такой колеблющийся диполь не способен излучать или принимать излучение вдоль своей оси, тогда как эффективность этого процесса максимальна в экваториальной плоскости).
Отметим также, что эти члены ортогональны n, а значит, всегда поперечны по отношению к направлению распространения излучаемых электромагнитных полей, как показано ниже:
Уравнения Панофски — Филлипс также показывают, что излучаемое магнитное поле связано с излучаемым электрическим полем соотношением:
Следовательно, в зоне дальнего поля (r >> λ) магнитное поле связано с электрическим полем соотношением:
Отсюда следует, что .
Эти свойства позволяют, в частности, объяснить происхождение давления света.
Частота колебаний источника определяет, к какому диапазону электромагнитного спектра относится излучаемое излучение:
Связь с запаздывающими потенциалами Изучение уравнений Максвелла, в частности уравнений Максвелла — Фарадея и теоремы ГауссаФейнмановские лекции по физике, том 6, § 18.6: Решение уравнений Максвелла; потенциалы и волновое уравнениеDavid J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Pearson (Fourth ed., 2013), Section 10.1: The Potential Formulation, показывает (с использованием теоремы Гельмгольца), что поля E и B можно вычислить через потенциалы V и A следующим образом:
Выбрав калибровку Лоренца, для этих запаздывающих потенциалов получаем следующее выражение:
где V — скалярный потенциал, а A — векторный потенциал.
Для вычисления полей, создаваемых точечным зарядом q, используются потенциалы Лиенара — Вихерта.
Выражение ближних и излучаемых полей через потенциалы Векторный потенциал A можно разложить на радиальную составляющую An (направленную вдоль вектора n) и поперечную составляющую A (ортогональную вектору n):
Если обозначить через Eближн и Bближн часть электрического и магнитного полей, убывающую как 1/r² в уравнениях Панофски — Филлипс, то эти составляющие связаны с запаздывающими потенциалами соотношениями:
Если обозначить через Eизл и Bизл часть электрического и магнитного полей, убывающую как 1/r в уравнениях Панофски — Филлипс, то эти составляющие связаны с запаздывающими потенциалами соотношениями:
Таким образом, радиальная составляющая A связана с ближним полем, тогда как поперечная составляющая A связана с излучаемым полем.
Сравнение с уравнениями Ефименко Уравнения Панофски — Филлипс и уравнения Ефименко совпадают для магнитного поля B, но различаются для электрического поля E, хотя обе формулы эквивалентны.
При этом уравнение Панофски — Филлипс для поля E обладает большей педагогической ценностью по сравнению с уравнением Ефименко, поскольку оно наглядно демонстрирует разделение на ближние и излучаемые поля и позволяет напрямую выявить общие характеристики излучаемых полей, чего не позволяет сделать выражение Ефименко. В частности, оно способствует лучшему качественному пониманию явления электромагнитного излучения.
С другой стороны, уравнение Ефименко благодаря более компактной математической записи в большинстве случаев проще в использовании, чем уравнение Панофски — Филлипс, для вычисления поля E в конкретной ситуации. Одно из немногих исключений — случай дипольного излученияR. de Melo e Souza, MV Cougo-Pinto, C. Farina, M. Moriconi, Multipole radiation fields from the Jefimenko equation for the magnetic field and the Panofsky-Phillips equation for the electric field, arXiv:0812.4679, 2008.
Таким образом, уравнения Панофски — Филлипс и уравнения Ефименко представляют взаимодополняющий интерес.
Дополнение Уравнения Панофски — Филлипс позволяют определить выражение электрического поля E и магнитного поля B в любой точке пространства.
Зная эти поля, можно найти силу, действующую на частицу с зарядом q и скоростью v''', находящуюся в точке M'', вычислив силу Лоренца:
Примечания
См. также Электрическое поле Магнитное поле Закон Кулона Закон Био — Савара Уравнения Максвелла Теорема Гельмгольца Запаздывающие потенциалы Уравнения Ефименко Электромагнитное излучение Ближняя и дальняя зона Квазистационарное приближение Электромагнитная масса
Категория:Электромагнетизм Категория:Электродинамика