Эквивалентность Мориты — отношение эквивалентности между кольцами, при котором категории модулей над ними эквивалентны, то есть и морита-эквивалентны, если категории левых модулей и эквивалентны как категории (или, что то же самое, эквивалентны категории правых модулей и ). Введено в 1958 году.
Эквивалентность Мориты является более слабым отношением, чем изоморфизм колец: изоморфные кольца всегда морита-эквивалентны, но обратное в общем случае неверно; при этом все морита-эквивалентные коммутативные кольца изоморфны.
Многие свойства колец являются морита-инвариантными, то есть выполняются или не выполняются одновременно для всего класса морита-эквивалентных колец, таковы, в частности, артиновость, нётеровость, полупростота, простота, , , самоинъективность, . При этом такие свойства, как коммутативность, обладание делителями нуля, локальность, морита-инвариантными не являются.
Вариант обобщения понятия — производная эквивалентность Мориты — эквивалентность колец, производные категории категорий модулей над которыми эквивалентны (как триангулированные категории).
Контекст Мориты Контекст Мориты для заданных колец и — набор , где и соответственно - и -бимодули, а и — такие гомоморфизмы бимодулей, что:
и для всех и .
Морита установил, что для кольца и морита-эквивалентны тогда и только тогда, когда для них существует морита-контекст такой, что и — изоморфизмы бимодулей.
Например, любое кольцо морита-эквивалентно кольцу матриц (размера с элементами из ) для любого натурального , а обеспечивающим эквивалентность бимодулем в морита-контексте является модуль вектор-столбцов .
Примечания
Литература
Категория:Теория категорий Категория:Теория колец Категория:Гомологическая алгебра