Теорема Фусса — теорема евклидовой геометрии, устанавливающая связь между радиусами вписанной и описанной окружностей бицентрического четырёхугольника и расстоянием между центрами этих окружностей. Результат связан с именем швейцарского математика Николауса Фусса (1755—1826).
Формулировка Пусть ABCD — бицентрический четырёхугольник, то есть четырёхугольник, одновременно вписанный в окружность и описанный около окружности. Обозначим через R радиус описанной окружности, через r — радиус вписанной окружности, а через d — расстояние между центрами этих окружностей.
Тогда выполняется равенство
Эквивалентная форма этого равенства имеет вид
Эти соотношения являются различными формами формулы Фусса.
Из формулы можно выразить расстояние между центрами окружностей:
Таким образом, для бицентрического четырёхугольника величины R, r и d связаны между собой и не являются независимыми.
История Николаус Фусс исследовал задачи о многоугольниках, одновременно вписанных в одну окружность и описанных около другой. В частности, в его работах конца XVIII — начала XIX века рассматривались условия существования таких бицентрических многоугольников.
Работа Фусса о четырёхугольниках, допускающих одновременно вписанную и описанную окружности, приводится в современной литературе под названием De quadrilateris quibus circulum tam inscribere quam circumscribere licet. Она была опубликована в Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae.
В библиографии этой работы оригинальная публикация Фусса указана как De quadrilateris quibus circulum tam inscribere quam circumscribere licet, Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 1792, том X (1797), с. 103—125.
Формула Фусса для бицентрического четырёхугольника рассматривается как аналог классической формулы Эйлера для треугольника, связывающей радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника с расстоянием между их центрами.
Связь с формулой Эйлера Для треугольника обозначим через R радиус описанной окружности, через r — радиус вписанной окружности, а через d — расстояние между их центрами. Тогда выполняется формула Эйлера
Эквивалентно,
Для бицентрического четырёхугольника соответствующее соотношение имеет более сложный вид:
Поэтому формулу Фусса рассматривают как аналог формулы Эйлера для треугольника в случае бицентрического четырёхугольника.
Обратное утверждение Формула Фусса имеет также обратную интерпретацию. Если две окружности имеют радиусы R и r, причём одна окружность лежит внутри другой, а расстояние d между их центрами удовлетворяет условию
то существует выпуклый четырёхугольник, вписанный во внешнюю окружность и описанный около внутренней.
Это утверждение связано с поризмом Понселе. Если две окружности удовлетворяют соответствующему условию замыкания, то построение замкнутого бицентрического многоугольника возможно для любой начальной точки на внешней окружности.
Обобщения Фусс исследовал также бицентрические многоугольники с числом сторон, большим четырёх. В частности, известны соответствующие соотношения для бицентрических пятиугольников, шестиугольников, семиугольников и восьмиугольников.
В современной литературе такие соотношения рассматриваются как соотношения Фусса для бицентрических многоугольников. Для многоугольников с бо́льшим числом сторон формулы имеют более сложный вид.
См. также Бицентрический четырёхугольник Теорема Понселе Вписанная окружность Описанная окружность
Примечания
Литература
Ссылки Bicentric Quadrilateral — Wolfram MathWorld. Fuss' Theorem — Cut-the-Knot. Some relations concerning triangles and bicentric quadrilaterals in connection with Poncelet’s closure theorem — Elemente der Mathematik.
Категория:Теоремы евклидовой геометрии