Теорема Хаага — теорема аксиоматической квантовой теории поля о невозможности построения в строгом математическом смысле теории взаимодействующих полей и недействительности представления взаимодействияМостепаненко А. М. Пространство-время и физическое познание. – М., Атомиздат, 1975. – с. 182-183. Была сформулирована и доказана Р. Хаагом’’Р. Стритер, А. Вайтман’’ PCT, спин и статистика и всё такое. – М., Наука, 1966. – с. 227-236 и обобщена Холлом и Артуром Уайтманом
Введение
Традиционное описание квантовой теории поля требует задания набора операторов, удовлетворяющих каноническим коммутационным отношениям и определения гильбертова пространства, на котором действуют эти операторы. Другим способом, нужно дать свободной алгебры для этих операторов по модулю канонических коммутационных соотношений (ККС и КАС алгебры); в этом случае основная алгебра операторов одна и та же, но разные теории поля соответствуют разным (т. е. унитарно неэквивалентным) представлениям. С философской точки зрения действие ККС и КАС алгебр должно быть неприводимым, поскольку в противном случае теорию можно записать как совокупность действий двух отдельных полей. Этот принцип подразумевает существование циклического состояния вакуума. Вакуум однозначно определяет представление алгебры, поскольку оно циклическое. Общеизвестны две различные характеристики вакуума: собственный вектор минимальной энергии гамильтониана поля, или состояние, аннулируемое оператором числа частиц . Когда эти спецификации описывают разные векторы, говорят, что вакуум поляризован, следуя физической интерпретации, впервые предложенной в квантовой электродинамике. Результат Хаага показывает, что квантовая теория поля должна трактовать один и тот же вакуум по разным унитарно неэквивалентным представлениям при рассмотрении взаимодействующих и свободных полей. .
Формальное описание В своей современной форме теорема Хаага состоит из двух частей Если квантовое поле свободно и евклидово-инвариантно в пространственных измерениях, то вакуум этого поля не поляризуется. Если два Пуанкаре-инвариантные квантовые поля находятся в одном и том же вакууме, то их первые четыре функции Уайтмана совпадают. При этом, если одно такое поле свободно, то и другое должно быть свободным полем той же самой массы. Такое положение дел резко контрастирует с обычной нерелятивистской квантовой механикой, где всегда существует самосопряженный оператор между свободными и взаимодействующими представлениями. Этот факт используется при построении представления взаимодействия, где операторы развиваются с использованием представления свободного поля, а состояния развиваются с использованием представления взаимодействующего поля. В рамках формализма квантовой теории поля (КТП) такой картины вообще не существует, поскольку эти два представления унитарно неэквивалентны. Таким образом, теоретик квантового поля сталкивается с так называемой «проблемой выбора»: нужно выбрать «правильное» представление среди несчетно-бесконечного набора представлений, которые не эквивалентны.
Физическая/эвристическая точка зрения Как уже заметил Хааг в своей оригинальной работе, именно поляризация вакуума лежит в основе теоремы Хаага. Любое взаимодействующее квантовое поле (включая невзаимодействующие поля разных масс) поляризует вакуум, и, как следствие, его вакуумное состояние лежит внутри перенормированного гильбертова пространства, которое отличается от гильбертова пространства свободного поля. Хотя всегда можно найти изоморфизм, который отображает одно гильбертово пространство в другое, из теоремы Хаага следует, что ни одно такое отображение не может дать унитарно эквивалентных представлений соответствующих канонических коммутационных отношений, т. е. однозначных физических результатов.
Другие статьи Среди предположений, которые приводят к теореме Хаага, есть трансляционная инвариантность системы. Следовательно, системы, которые могут быть созданы внутри ящика с или которые взаимодействуют с подходящими внешними потенциалами, избегают выводов теоремы. Хааг (1958) и Рюэль (1962) разработали теорию рассеяния Хаага-Рюэля, которая имеет дело с асимптотическим свободными состояниями и тем самым служит для формализации некоторых предположений, необходимых для . Однако эти методы не могут быть применены к безмассовым частицам и имеют нерешенные проблемы со связанными состояниями.
Противоречивые комментарии физиков В то время как некоторые физики и философы физики неоднократно подчеркивали, насколько серьезно теорема Хаага подрывает основы КТП, большинство практикующих теоретиков квантового поля просто игнорируют этот вопрос. В большинстве текстов по квантовой теории поля, посвященных практической оценке Стандартной модели взаимодействий элементарных частиц, она даже не упоминается, неявно предполагая, что может быть найден некий строгий набор определений и процедур, которые подкрепят мощную и хорошо подтвержденную эвристику. результаты, о которых они сообщают. Например, расчет струи КХД) полностью согласуется с экспериментом, но, тем не менее, он не может быть выполнена в силу теоремы Хаага. По общему мнению, это не какое-то случайное совпадение, а скорее, что он воплощает физическую истину. Практические расчеты и инструменты мотивированы и оправданы обращением к большому математическому формализму, называемому КТП. Теорема Хаага предполагает, что этот формализм недостаточно обоснован, однако практические расчеты достаточно далеки от обобщенного формализма, поэтому любые его недостатки не влияют на практические результаты. По мнению Теллера (1997): Каждый должен согласиться с тем, что как часть математики теорема Хаага является признанным результатом, который, по крайней мере, кажется, ставит под сомнение математическую основу квантовой теории взаимодействующих полей, и согласиться с тем, что в то же время теория оказалась удивительно успешной в применении к экспериментальным результатам. Люпер (2005) предположил, что широкий спектр противоречивых реакций на теорему Хаага может быть частично вызван тем фактом, что современная физическая картина физики элементарных частиц существует в разных формулировках, что, в свою очередь, было доказано в разных формулировках QFT, такие как аксиоматический подход Вайтмана или формула LSZ. Согласно Люперу, Те немногие, кто упоминает об этом, склонны рассматривать это как нечто важное, что кто-то (другой) должен тщательно изучить. (2000) дополнительно отметил:В теории могут присутствовать концептуальные проблемы, которые кажутся результатом математических артефактов. Теоретику это кажется не фундаментальными проблемами, коренящимися в какой-то глубокой физической ошибке в теории, а, скорее, следствием какой-то неудачи в том, как теория была сформулирована. Теорема Хаага, возможно, представляет собой трудность такого рода. Уоллес (2011) сравнил достоинства традиционной КТП с достоинствами алгебраической квантовой теории поля (АКТП) и заметил, что ... алгебраическая квантовая теория поля имеет унитарно неэквивалентные представления даже в пространственно конечных областях, но этот недостаток унитарной эквивалентности проявляется только по отношению к ожидаемым значениям в произвольных небольших областях пространства-времени, и это именно те ожидаемые значения, которые не передают реальной информации о мире. Последнее утверждение он оправдывает открытиями, полученными в современной теории ренормгрупп, а именно тем фактом, что мы можем объединить все наше незнание того, как осуществляется обрезание (т. е. обрезание на коротком расстоянии, необходимое для выполнения процедуры перенормировки), в значения конечного числа коэффициентов, которые можно измерить эмпирически. Что касается последствий теоремы Хаага, замечание Уоллеса подразумевает, что, поскольку КТП не пытается предсказать фундаментальные параметры, такие как массы частиц или константы связи, возникают потенциально вредные эффекты. Унитарно неэквивалентные представления "остаются в тени" эмпирических значений, полученных в результате измерений этих параметров (в заданном масштабе длины) и которые легко импортируются в КТП. Таким образом, на практике они остаются невидимыми для теоретиков квантового поля.
Примечания
Дальнейшее чтение
Литература
Категория:Аксиоматическая квантовая теория поля Хаага Хаага