Метод квантовой передачи на границе (QTBM, от англ. quantum transmitting boundary method) — численный метод решения стационарного уравнения Шрёдингера с открытыми граничными условиями, применяемый для расчёта квантового транспорта в полупроводниковых наноструктурах. Метод был предложен в 1990 году Крейгом С. Лентом и Дэвидом Дж. Киркнером для двумерных задач в приближении эффективной массы. Граничные условия связывают волновую функцию и её производную с заданными амплитудами падающих волн. Это позволяет учитывать полубесконечные контакты при решении задачи в конечной вычислительной области.

QTBM позволяет избежать потери точности, возникающей при непосредственном перемножении матриц переноса в структурах с сильно затухающими волнами. Такое преимущество было продемонстрировано, в частности, при расчёте туннелирования через затворные диэлектрики. Метод применялся к резонансно-туннельным диодам, квантовым точкам, задачам межзонного туннелирования и моделированию двухзатворных МОП-транзисторов.

Предпосылки При моделировании квантового транспорта активную область прибора рассматривают как открытую систему, обменивающуюся электронами с контактами. В контактных областях задаются падающие волны, тогда как отражённые и прошедшие волны определяются решением задачи рассеяния. Однородные условия Дирихле на концах одномерной области задают непроницаемые границы: поток вероятности через них равен нулю. Поэтому такие условия не описывают инжекцию электронов из контактов. В методе матриц переноса амплитуды последовательно пересчитываются от одного слоя структуры к другому. В классически запрещённых областях решение содержит растущую и убывающую экспоненты. При большой толщине барьера вычисления с этими компонентами могут приводить к потере точности из-за ошибок округления. В QTBM амплитуды исходящих волн исключаются из граничных соотношений. Полученные условия решаются совместно с дискретизированным уравнением Шрёдингера, например методом конечных разностей или конечных элементов.

Метод

Одномерная постановка Пусть проводник занимает интервал соединён с полубесконечными контактами. В каждом контакте потенциальная энергия и эффективная масса постоянны, где . Для распространяющихся волн при вводятся положительные волновые числа

При временной зависимости решения в контактах записываются в виде

Здесь  — амплитуды волн, падающих на проводник, а  — амплитуды исходящих волн. Фазы отсчитываются от соответствующих границ. Исключая и с помощью производных этих выражений, получаются смешанные граничные условия QTBM:

При инжекции только слева , поэтому на правой границе

Эти формулы предполагают, что границы вычислительной области расположены в однородных участках контактов. После дискретизации задача при заданной энергии принимает вид

где  — вектор значений волновой функции,  — комплексная матрица дискретизированного уравнения с граничными условиями, а  — вектор источника, определяемый падающими волнами. Граничные значения волновой функции находятся одновременно со значениями во внутренней области.

Для инжекции слева коэффициент прохождения определяется отношением прошедшего и падающего потоков:

Таким образом, при различающихся скоростях в контактах одного отношения квадратов модулей амплитуд недостаточно.

Двумерное обобщение Двумерная постановка входила уже в исходную работу Лента и Киркнера. В однородном вдоль оси контакте с поперечным ограничением волновую функцию раскладывают по поперечным модам. При заданной энергии учитываются как распространяющиеся, так и затухающие моды. Для последних выбираются решения, убывающие при удалении от прибора. Падающие амплитуды задаются в открытых каналах, а отражение, прохождение и смешение мод определяются внутренней областью рассеяния. В модовом представлении контактные условия задаются для отдельных мод. После перехода к пространственной сетке они в общем случае связывают разные узлы одного контактного сечения. Поэтому разреженность внутреннего оператора не означает, что граничные блоки также разрежены.

Магнитного поля В 1994 году М. Ленг и К. Лент обобщили QTBM на задачи магнетотранспорта. Они построили граничные условия для токонесущих состояний в магнитном поле и алгоритм на основе метода конечных элементов, допускающий произвольную форму прибора, профиль потенциала и несколько контактов различной ориентации. В качестве примера был рассмотрен квантовый канал с антиточкой: вокруг рассеивателя формировались магнитные квазисвязанные состояния, вызывавшие резонансное отражение.

Метод сильной связи и многозонные формулировки В многозонных вариантах QTBM используются несколько компонент волновой функции или несколько базисных функций на элементарную ячейку. Существует обобщение многозонного метода на модели зонной структуры типа сильной связи с неортогональным базисом и взаимодействием с несколькими соседними слоями. Реализация на основе плоскостного базиса обобщённых функций Ванье была применена к расчёту коэффициентов прохождения через двухбарьерную структуру GaAs/AlAs.

Численная устойчивость QTBM заменяет последовательное распространение амплитуд решением общей системы уравнений. В расчётах затворных диэлектриков, метод сохранял точность в исследованных режимах, в которых непосредственное применение матриц переноса становилось неустойчивым. Это результат сравнения конкретных реализаций и структур, а не гарантия безусловной устойчивости или хорошей обусловленности любой системы QTBM. Для одномерного уравнения с ближайшими соседями в конечно-разностной схеме матрица трёхдиагональна, и решение требует операций, где  — число узлов. Эта оценка относится к указанной дискретизации. В многомерных задачах затраты зависят от структуры матрицы и выбранного решателя. При фиксированных энергии и потенциале разные падающие моды задают разные правые части одной системы, поэтому факторизацию матрицы можно использовать повторно.

Самосогласованное моделирование Электростатический потенциал зависит от плотности заряда, которая, в свою очередь, определяется электронными состояниями. При самосогласованном моделировании уравнение Шрёдингера с условиями QTBM решают для текущего потенциала, вычисляют концентрацию электронов, затем решают уравнение Пуассона и обновляют потенциал. Вклады состояний, инжектируемых из разных контактов, суммируют по модам и интегрируют по энергии с учётом заполнения соответствующих резервуаров и нормировки состояний. Позже применили самосогласованное решение связанных уравнений Шрёдингера и Пуассона к Γ-X-смешению в структурах GaAs/AlAs/GaAs. Рассчитаывались вероятности прохождения, волновые функции и вольт-амперные характеристики однобарьерных и двухбарьерных структур. Позднее такой подход использовался для двумерного моделирования кремниевых двухзатворных транзисторов. В 2024 году также рассмотрен двухзатворный МОП-транзистор; применение к FinFET, транзисторам с окружающим затвором и CFET обсуждается как возможность, а не как представленный набор расчётов этих архитектур.

Применения Для резонансно-туннельных структур QTBM позволяет рассчитывать резонансы и антирезонансы прохождения, а при самосогласованном учёте заряда — вольт-амперные характеристики. В модели Γ-X-смешения в GaAs/AlAs/GaAs существенную роль играют поперечный импульс, пространственная зависимость эффективной массы и самосогласованный потенциал.

При моделировании затворных диэлектриков QTBM использовался для расчёта туннельных токов через многослойные барьеры. Рассматривалось влияние толщины слоёв и параметров диэлектриков на утечку при фиксированной эквивалентной толщине оксида.

QTBM применяли к модели прямого межзонного туннелирования. Между валентной зоной и зоной проводимости строится эффективный барьер: вблизи соответствующих краёв зон он имеет валентный или проводниковый характер, а точка перехода определяется согласованием импульсов. Коэффициент прохождения через этот барьер вычисляется с помощью QTBM.

QTBM обобщили на задачу рассеяния электрона, когерентно взаимодействующего с коррелированными электронами, связанными в наноструктуре. В одномерной квантовой точке с нулём, одним или двумя связанными электронами они рассчитали функции прохождения и фазы, учитывая антисимметрию многоэлектронного состояния.

В обычной одночастичной постановке QTBM описывает когерентное рассеяние в заданном потенциале; неупругие процессы требуют дополнительной модели. Метод QTBM использовали в самосогласованных баллистических расчётах, а для диссипативного транспорта — кинетическое уравнение Паули. Для кремниевых сверхтонких двухзатворных транзисторов они исследовали электрон-фононное рассеяние и рассеяние на шероховатости границ раздела, показав важную роль последнего.

Также метод QTBM для расчёта туннельного тока объединили с дрейфово-диффузионным моделированием. Самосогласованные расчёты были выполнены для структур Al/SiO2/Si и туннельного переключающего диода Al/SiO2/n-Si/p-Si.

Сравнение со смежными методами + Подходы к описанию открытого квантового транспорта Подход Основные неизвестные и учёт контактов QTBM Волновая функция; граничные условия задают падающие волны и допускают исходящие волны. Метод матриц переноса Амплитуды компонент решения, пересчитываемые между слоями; непосредственное перемножение матриц может терять точность для сильно затухающих волн. NEGF Функции Грина; влияние контактов описывается собственно-энергетическими операторами. Формализм функции Вигнера Функция распределения в фазовом пространстве; в модели Френсли задаётся распределение частиц, входящих из резервуаров.

Для когерентной одночастичной задачи подход через состояния рассеяния и формализм функций Грина эквивалентны. Поэтому сравнение вычислительных затрат требует указания алгоритмов, геометрии и вычисляемых величин. Рекурсивный метод функций Грина — способ решения соответствующей задачи, а не отдельная физическая модель рассеяния.

Программные реализации MINIMOS-NT — в этом симуляторе QTBM использовался для расчёта туннельных токов через затворные диэлектрики. Vienna-Schrödinger-Poisson (VSP) — среда моделирования, в которой реализован QTBM для пространственных задач на неструктурированных сетках. Метод применялся к самосогласованному расчёту концентрации электронов, профиля края зоны проводимости и баллистического тока в транзисторах с высокой подвижностью электронов на основе GaN.

Примечания

Литература

Категория:Квантовая механика