Кинетическое уравнение Ландау — кинетическое уравнение, описывающее перенос в системе слабовзаимодействующих заряженных частиц, испытывающих кулоновские столкновения в плазме.
Уравнение было выведено Львом Ландау в 1936 году как альтернатива уравнению Больцмана для случая кулоновского взаимодействия. Совместно с уравнением Власова оно описывает эволюцию плазмы с учётом столкновений и является одной из основных кинетических моделей столкновительной плазмы.
История Первый вывод уравнения был приведён в оригинальной работе Ландау. В 1946 году Николай Боголюбов опубликовал первый формальный вывод уравнения из цепочки уравнений Боголюбова.
В 1949 году Уильям Аллис высказал предположение об ошибке в выводе Ландау.Allis, W. P. (1949). An error in a paper by Landau on Coulomb interactions in a plasma. Physical Review, 76(1), 146. В следующем году Ландау опубликовал ответ, показав ошибочность вычислений самого Аллиса.
Общие сведения Пусть — одночастичная функция распределения. Уравнение имеет вид:
Правая часть уравнения называется интегралом столкновений Ландау по аналогии с интегралом столкновений Больцмана.
Коэффициент определяется через преобразование Фурье потенциала межчастичного взаимодействия :
Для многих потенциалов межчастичного взаимодействия, в частности степенных потенциалов , интеграл, определяющий , расходится. Для устранения этой расходимости Ландау ввёл обрезание по малым и большим углам рассеяния.
Уравнение используется преимущественно в статистической механике и физике элементарных частиц для моделирования плазмы. В частности, оно применяется для моделирования и исследования плазмы в термоядерных реакторах.Landau kinetic equation. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Landau_kinetic_equation&oldid=47573J. Killeen, K.D. Marx, «Methods in computational physics», 9, Acad. Press (1970)J. Killeen, A.A. Mirin, M.E. Rensink, «Methods in computational physics», 16, Acad. Press (1976) Уравнение также используется при моделировании активной материи. Подробные исследования уравнения и его свойств проводил Александр Бобылёв.Alexander Bobylev. ResearchGate. URL: https://www.researchgate.net/profile/Alexander-Bobylev
Вывод Основная идея вывода состоит в следующем.
Рассматривается пространственно однородный газ точечных частиц единичной массы, описываемый функцией распределения . Для кулоновского взаимодействия вводится экранированный потенциал , где — кулоновский потенциал, а — дебаевский радиус. Затем потенциал подставляется в интеграл столкновений Больцмана и выделяется главный член асимптотического разложения при .
Уравнение Фоккера — Планка — Ландау В 1957 году уравнение было независимо выведено Маршаллом Розенблютом. Для силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния, из уравнения Фоккера — Планка можно получить:
где и — потенциалы Розенблюта:
Здесь , .
Представление уравнения в форме Фоккера — Планка используется главным образом благодаря его удобству для численных расчётов.
Релятивистское кинетическое уравнение Ландау Релятивистский вариант уравнения был опубликован в 1956 году Гершем Будкером и Спартаком Беляевым.S. T. Belyaev and G. I. Budker. Relativistic kinetic equation. Dokl. Akad. Nauk SSSR (N.S.), 107:807-810, 1956. Для релятивистских частиц с импульсом и энергией уравнение имеет вид:
где ядро задаётся выражением , причём
Учёт релятивистских эффектов необходим, поскольку в горячей плазме скорости частиц нередко достигают релятивистских значений.
Примечания
Категория:Физика плазмы Категория:Лев Ландау