Дискриминант

Дискримина́нт многочлена — математическое понятие (в алгебре), обозначаемое буквами или .

Для многочлена , , его дискриминант есть произведение

где  — все корни многочлена (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

Дискриминант - это такое число, которое определяет характер корней многочлена: Если , это означает, что корни уравнения являются простыми, и все они различны. Геометрически, график пересекает ось в -разных местах. Если , это означает, что некоторые из корней (или все) совпадают, т.е. кратны. Геометрически, график касается ось в некоторых местах (или во всех). Если , это означает, что некоторые из корней (или все) комплексные числа. Геометрически, график будет находиться над или под осью , и касаться ее только в некоторых местах (или не будет касаться вовсе).

Чаще всего используется дискриминант квадратного трёхчлена, знак которого определяет количество действительных корней.

Свойства Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни. Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.

, где

, при , где  — результант многочлена и его производной .

Также дискриминант можно записать в виде определителя матрицы вида . Где () - корни уравнения от многочлена

Примеры Во всех следующих примерах рассматриваются многочлены с вещественными коэффициентами и отличным от нуля старшим коэффициентом.

Многочлен второй степени Дискриминант квадратного трёхчлена равен

При трёхчлен будет иметь два вещественных корня:

При — один корень кратности 2 (другими словами, два одинаковых корня):

При вещественных корней нет, однако есть два комплексно-сопряжённых корня, выражающиеся той же формулой, что и для положительного дискриминанта. Также её можно переписать так, чтобы она не содержала отрицательного подкоренного выражения, следующим образом: или

Геометрический смысл дискриминанта квадратного уравнения Дискриминант квадратного трёхчлена геометрически характеризует расстояние от абсциссы точки экстремума функции до точки пересечения графика функции с осью Ox. Это расстояние определяется по формуле:

.

Многочлен третьей степени Дискриминант кубического многочлена равен

В частности, дискриминант кубического многочлена (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен . При кубический многочлен имеет три различных вещественных корня. При он имеет кратный корень (либо один корень кратности 2 и один корень кратности 1, и тот, и другой вещественные; либо один-единственный вещественный корень кратности 3). При кубический многочлен имеет один вещественный корень и два комплексных корня (являющихся комплексно-сопряжёнными).

Многочлен четвёртой степени Дискриминант многочлена четвёртой степени равен

Для многочлена дискриминант имеет вид

и равенство определяет в пространстве поверхность, называемую ласточкиным хвостом.

При многочлен имеет два различных вещественных корня и два комплексных корня. При многочлен имеет четыре различных корня: либо все вещественные, либо все комплексные. А именно, для многочлена : если , то все корни комплексные; если и , то все корни комплексные; если и , то все корни вещественные. При многочлен имеет по меньшей мере один кратный корень (вещественный или комплексный). Во втором случае многочлен имеет два комплексно сопряжённых кратных корня и, следовательно, распадается в произведение двух многочленов второй степени, неприводимых над полем вещественных чисел. Точнее: если и , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня; если и , то три различных вещественных корня, один из которых кратности 2; если и , то два вещественных корня, каждый из которых кратности 2; если и , то два вещественных корня, один из которых кратности 3; если , и , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня; если , и , то одна пара комплексно сопряжённых корней кратности 2; если и , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня; если и , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня; если и , то один вещественный корень кратности 4.

История Термин образован от латинского слова  — «разбираю», «различаю». Понятие «дискриминант квадратичной формы» использовалось в работах Гаусса, Дедекинда, Кронекера, Вебера и др. Термин ввёл британский математик Джеймс Джозеф Сильвестр (1814—1897).

См. также Результант Дискриминант алгебраического числового поля

Литература

Примечания

Категория:Многочлены