Интеруниверсальная теория Тейхмюллера (IUT или IUTT) — математическая теория, разработанная Синъити Мотидзуки в 2000-х годах как продолжение его более ранних работ по арифметической геометрии. По словам Мотидзуки, это «арифметическая версия теории Тейхмюллера для числовых полей, снабжённых эллиптической кривой». Теория была представлена в серии из четырёх препринтов, размещённых в 2012 году на его веб-сайте. Главное из заявленных приложений теории — доказательство ряда нерешённых гипотез в теории чисел, в частности abc-гипотезы. Мотидзуки и несколько других математиков утверждают, что теория действительно содержит такое доказательство, однако научное сообщество до сих пор его не признало.

История Вплоть до 2012 года теория разрабатывалась исключительно Мотидзуки, а её заключительная часть была оформлена в виде серии из четырёх препринтов. В августе 2012 года Мотидзуки обнародовал свою работу без ажиотажа, свойственного крупным научным открытиям: он просто разместил статьи на сервере препринтов своего института и на личном сайте, не объявляя об этом коллегам. Вскоре на эти публикации обратили внимание Акио Тамагава и Иван Фесенко, после чего широкое математическое сообщество узнало о заявленном доказательстве abc-гипотезы.

Поначалу новость о доказательстве встретили с энтузиазмом, хотя специалистов по теории чисел озадачил совершенно новый математический язык, введённый и использованный Мотидзуки — "But it's clear that it involves ideas which are completely outside the mainstream of the subject. Looking at it, you feel a bit like you might be reading a paper from the future, or from outer space.". Семинары по IUTT прошли в Научно-исследовательском институте математических наук (RIMS) в марте 2015 года, в Пекине в июле 2015 года, в Оксфорде в декабре 2015 года и снова в RIMS в июле 2016 года. Два последних мероприятия привлекли более 100 участников, а материалы оттуда лежат в открытом доступе. Тем не менее всё это не привело к более широкому пониманию идей Мотидзуки и не изменило статус заявленного им доказательства.

В 2017 году ряд математиков, подробно изучивших аргументацию Мотидзуки, указали на конкретный непонятный им фрагмент ближе к концу доказательства следствия 3.12 в третьей статье из четырёх.

В марте 2018 года Петер Шольце и Якоб Стикс посетили Киотский университет для пятидневных дискуссий с Мотидзуки и Юитиро Хоси; хотя разногласия не были сняты, встреча позволила чётко понять, в чём именно состоят трудности — веб-страница Мотидзуки с описанием дискуссий и ссылками на последующие публикации, статьи Ивана Фесенко и видеозапись Фумихару Като из Токийского технологического института.. По результатам встречи обе стороны опубликовали свои отчёты:

В мае 2018 года Шольце и Стикс подготовили 10-страничный отчёт (обновлённый в сентябре 2018 года), подробно описывающий ранее выявленный пробел в доказательстве следствия 3.12. Они охарактеризовали его как «настолько серьёзный, что, по их мнению, небольшие модификации не спасут стратегию доказательства», и подытожили, что препринт Мотидзуки не может считаться доказательством abc-гипотезы (обновлённая версия их майского отчёта PDF, архивировано PDF 2020-02-08 в Wayback Machine).. В сентябре 2018 года Мотидзуки подготовил 41-страничный обзор дискуссий, где подвёл итоги и перечислил аспекты теории, которые, по его мнению, оппоненты поняли неправильно — "the ... discussions ... constitute the first detailed, ... substantive discussions concerning negative positions ... IUTch.". Среди них: «Реинициализация» математических объектов, делающая их предшествующую «историю» недоступной. «Метки» для различных «версий» объектов. Акцент на типах («видах») объектов. В июле и октябре 2018 года Мотидзуки дал 8- и 5-страничные ответы на майскую и сентябрьскую версии отчёта Шольце и Стикса, настаивая на том, что пробел — лишь следствие сделанных ими упрощений, а в самой его теории никаких пробелов нет — "Most of the Comments of (his previous reaction) were not addressed in (their September update) and hence ... remain valid" — дополнение к предыдущей реакции.. В 2021 году Мотидзуки издал свой труд в виде серии из четырёх статей в журнале Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences Киотского университета, где он занимает пост главного редактора. В рецензии на эти статьи в реферативной базе zbMATH Петер Шольце написал, что высказанные им в 2017 и 2018 годах сомнения «не были учтены в опубликованной версии». Другие авторы замечали, что неразрешённый спор между Мотидзуки и Шольце о корректности доказательства — пример, когда рецензирование не выполнило свою привычную задачу: убедить математическое сообщество в целом в верности выводов.

Математическое значение

Область теории Интеруниверсальная теория Тейхмюллера, как отмечалось ранее, — продолжение предыдущих работ Синъити в арифметической геометрии. Эти работы прошли рецензирование и были благосклонно приняты математическим сообществом, внеся весомый вклад в анабелеву геометрию, а также развитие p-адической теории Тейхмюллера, теории Ходжа — Аракелова и категорий фробениоидов. Теория разрабатывалась с явной направленностью на более глубокое понимание abc-гипотезы и связанных с ней гипотез. В геометрическом контексте аналоги некоторых идей IUTT встречаются в доказательстве Фёдором Богомоловым геометрического неравенства Спиро.

Отправной точкой для IUTT послужили созданная Мотидзуки моноанабелева геометрия и результаты её реконструкции. Они позволяют восстанавливать различные теоретико-схемные объекты, ассоциированные с гиперболической кривой над числовым полем, исходя из знания её фундаментальной группы или определённых групп Галуа. IUTT применяет алгоритмические результаты моноанабелевой геометрии для реконструкции соответствующих схем после применения к ним арифметических деформаций; ключевую роль здесь играют три свойства жёсткости, установленные в этальной тета-теории Мотидзуки. Грубо говоря, арифметические деформации изменяют умножение в заданном кольце, а задача — измерить, насколько при этом изменяется сложение. Механизм деформаций описывается определёнными связями между так называемыми театрами Ходжа, такими как тета-связь и лог-связь.

Эти театры Ходжа используют две основные симметрии IUTT: мультипликативную арифметическую и аддитивную геометрическую. С одной стороны, театры Ходжа обобщают такие классические объекты теории чисел, как адели и идели по отношению к их глобальным элементам, а с другой стороны — определённые структуры предшествующей теории Ходжа — Аракелова Мотидзуки. Связи между театрами несовместимы со структурами колец или схем и осуществляются за рамками традиционной арифметической геометрии. Однако они совместимы с определёнными групповыми структурами: фундаментальную роль в IUTT играют как абсолютные группы Галуа, так и определённые типы топологических групп. Соображения мультирадиальности — обобщения функториальности — требуют введения трёх умеренных неопределённостей. Следствия в теории чисел Главное заявленное приложение IUTT — решение различных гипотез теории чисел, среди которых abc-гипотеза, а также более геометрические проблемы, такие как гипотеза Войты для кривых и гипотеза Спиро для эллиптических кривых.

Первым делом арифметическая информация об этих объектах переносится на язык категорий фробениоидов. По замыслу автора, дополнительная структура этих категорий позволяет выводить утверждения, которые при обратном переводе дают заявленные результаты.

Одна из проблем в рассуждениях Синъити Мотидзуки, которую он сам признаёт, сводится к следующему: в его заявленном доказательстве abc-гипотезы с помощью IUTT не удаётся получить промежуточные результаты. Иными словами, не существует более компактной части его рассуждений, поддающейся независимому анализу сторонними экспертами, которая давала бы новый результат в диофантовой геометрии.

Веселин Димитров получил на основе рассуждений Мотидзуки количественный результат относительно abc-гипотезы, что в принципе могло бы опровергнуть доказательство.

Примечания

Внешние ссылки

Shinichi Mochizuki (1995–2018), Papers of Shinichi Mochizuki Shinichi Mochizuki (2014), A panoramic overview of inter-universal Teichmüller theory Yuichiro Hoshi; Go Yamashita (2015), RIMS Joint Research Workshop: On the verification and further development of inter-universal Teichmuller theory Ivan Fesenko (2015), Arithmetic deformation theory via arithmetic fundamental groups and nonarchimedean theta functions, notes on the work of Shinichi Mochizuki. Yuichiro Hoshi (2015), Introduction to inter-universal Teichmüller theory, a survey in Japanese