Нера́венство Чебышёва (или неравенство Бьенеме — Чебышёва) — неравенство в теории меры и теории вероятностей. Оно было первый раз получено Бьенеме в 1853 году, и позже также Чебышёвым (в статье «О средних величинах» 1867 года).
Неравенство, использующееся в теории меры, является более общим, в теории вероятностей используется его следствие.
В теории меры Неравенство Чебышёва в теории меры описывает взаимосвязь интеграла Лебега и меры. Аналог этого неравенства в теории вероятностей — неравенство Маркова. Неравенство Чебышёва также используется для доказательства вложения пространства в слабое пространство .
Стандартная формулировка Пусть — пространство с мерой. Если функция интегрируема и неотрицательна на множестве , то для любой положительной константы мера множества всех из , для которых значение не меньше , сама не больше интеграла от по , делённого на :
Обобщённая формулировка Стандартной формулировке можно сделать следующее обобщение. Пусть также интегрируема и неотрицательна на множестве , но она к тому же не убывает (не обязательно всюду, достаточно лишь неубывания на всей области значения и в точке ). Тогда мера множества всех из , для которых значение не меньше , сама не больше интеграла от композиции по , делённому на :
Для перехода к стандартной формулировке достаточно взять
Формулировка в терминах пространства Lₚ Пусть . Тогда
В теории вероятностей
Неравенство Чебышёва в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к своему среднему. А более точно, оно даёт оценку вероятности того, что случайная величина примет значение, далёкое от своего среднего.
Неравенство Чебышёва является следствием неравенства Маркова.
Формулировка Пусть случайная величина определена на вероятностном пространстве , а её математическое ожидание и дисперсия конечны. Тогда , где . Если , где — стандартное отклонение и , то получаем .
В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на стандартных отклонения, с вероятностью меньше . Отклоняется от среднего на стандартных отклонения с вероятностью меньше . Иными словами, случайная величина укладывается в стандартных отклонения с вероятностью и в стандартных отклонения с вероятностью
Для важнейшего случая распределений неравенство Высочанского — Петунина существенно усиливает неравенство Чебышёва, включая в себя дробь . Таким образом, граница в стандартных отклонения включает значений случайной величины. В отличие от нормального распределения, где стандартных отклонения включают значений случайной величины.
Доказательство Докажем теорему в обобщённой формулировке. Обозначим за искомое множество Тогда интеграл от композиции по можно разбить на сумму двух интегралов: по и по , оба из которых неотрицательны, так что интеграл от композиции по не меньше, чем интеграл по — один из них. В то же время на всём множестве функция не меньше по построению, поэтому на нём значение композиции не меньше в силу свойств неубывания, а потому и интеграл от композиции по больше или равен интегралу от по . Последний равен произведению меры на , ведь константа. Поделив на , получим исходное соотношение. Формализуя вышесказанное получаем доказываемое неравенство:
См. также Оценка Чернова
Литература
Ссылки П. Л. Чебышевъ, «О среднихъ величинахъ», Матем. сб., 2:1 (1867), 1-9
Категория:Теория меры Чёбышева Чёбышева