Бесконечномерное пространство — векторное пространство c бесконечно большой размерностью. Изучение бесконечномерных пространств и их отображений является главной задачей функционального анализа. Наиболее простыми бесконечномерными пространствами являются гильбертовы пространства, наиболее близкие по свойствам к конечномерным евклидовым пространствамФункциональный анализ // Математический энциклопедический словарь / гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М., Советская энциклопедия, 1988. — с. 613-615.
Определение Линейное векторное пространство называется бесконечномерным, если для любого целого числа в нем найдется линейно независимая система, состоящая из векторовШикин Е. В. Линейные пространства и отображения. — М., МГУ, 1987. — с. 17.
Базис Для бесконечномерного пространства существуют различные определения базиса. Так, например, базис Гамеля определяется, как множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации единственным образом.
Для топологических векторных пространств можно определить базис Шаудера. Система элементов образует базис Шаудера пространства , если каждый элемент представим единственным образом в виде сходящегося ряда . Базис Шаудера существует не всегда.
Примеры Линейное пространство непрерывных на данном промежутке функций. Гильбертово пространство, образованное бесконечной последовательностью чисел со сходящейся суммой квадратов . Множество всех многочленов (над данным полем). Пространство квадратично-суммируемых последовательностей
Свойства Бесконечномерное пространство не изоморфно никакому конечномерному.
См. также Конечномерное пространство
Примечания
Литература
Категория:Линейная алгебра Категория:Функциональный анализ