Абсолютная геометрия (или нейтральная геометрия) — часть классической геометрии, независимая от пятого постулата евклидовой аксиоматики, то есть в абсолютной геометрии пятый постулат может выполняться, а может и не выполняться. Абсолютная геометрия содержит предложения, общие для евклидовой геометрии и для геометрии Лобачевского.

Термин был предложен Яношем Бойяи в 1832 годуБольаи Я. Аппендикс // Об основаниях геометрии (сб. статей), М., ГИТТЛ, 1956. Серия «Классики естествознания».. Правда, сам Бойяи вкладывал в него несколько иной смысл: он называл абсолютной геометрией специально разработанную им символику, которая позволяла объединять одной формулой теоремы как евклидовой геометрии, так и геометрии Лобачевского.

Примеры теорем абсолютной геометрии Первые 28 теорем «Начал» Евклида относятся к абсолютной геометрии. Приведём ещё несколько примеров таких теорем: У равнобедренного треугольника углы при основании равны. Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего, не смежного с ним. Во всяком треугольнике по крайней мере два угла острые. При пересечении двух прямых вертикальные углы равны. Большей из двух сторон треугольника противостоит и больший угол, и наоборот, большему углу противостоит бо́льшая сторона. Перпендикуляр (из точки на прямую) короче наклонной. Каждая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других его сторон. Сумма углов треугольника не превосходит 180°.

Теоремы, не входящие в абсолютную геометрию Современная аксиоматика евклидовой геометрии (например, аксиоматика Гильберта) полна, то есть любое корректное утверждение в этой теории может быть доказано или опровергнуто. Абсолютная геометрия неполна: поскольку пятый постулат определяет метрические свойства однородного пространства, отсутствие его в абсолютной геометрии означает, что метрика пространства не определена, и большинство теорем, связанных с измерениями (например, теорема Пифагора или теорема о сумме углов треугольника) не могут быть доказаны в абсолютной геометрии.

Другие примеры теорем, не входящих в абсолютную геометрию: Признаки подобия треугольников. Многочисленные эквиваленты V постулатаСм, например: Gunter Ewald. Geometry: an introduction. Wadsworth Publishing. 1st. 1971, 399 pages. ISBN 0-534-00034-7.

Вариации и обобщения В абсолютной геометрии параллельные прямые всегда существуют (см. теоремы 27 и 28 «Начал» Евклида, доказанные без опоры на пятый постулат), поэтому сферическая геометрия, в которой нет параллельных, несовместима с абсолютной геометрией. Однако можно построить аксиоматику, объединяющую все три типа неевклидовых геометрий (евклидову, сферическую и геометрию Лобачевского), и тогда абсолютную геометрию можно определить как их общую часть. Это новое определение более широкое, чем прежнее — например, теорема «сумма углов треугольника не превосходит 180°» перестаёт быть верной.

Примечания

Литература

Переиздание: 2004, издательство «Физматлит», ISBN 5-9221-0267-2.

Ссылки

Категория:Абсолютная геометрия Категория:Основания геометрии