Зако́н электромагни́тной инду́кции Фараде́я — один из важнейших законов электродинамики, гласящий, что

или, опуская детали,

Под контуром понимается любая замкнутая кривая в пространстве; она может двигаться и деформироваться.

Если вдоль такой кривой проложен тонкий провод, ЭДС проявится протеканием индукционного тока, который может быть использован технически. Данный эффект лежит в основе принципов работы трансформаторов, дросселей, многих видов электродвигателей и генераторов. При этом индукционный ток направлен так, что его действие противоположно действию причины, вызвавшей этот ток (правило Ленца).

Физическое содержание и значение закона С современной точки зрения закон электромагнитной индукции констатирует несколько значимых моментов: возможность создания электрического поля () за счёт магнитного (): , то есть иначе чем с помощью электрических зарядов по закону Кулона ( — обозначение ротора); существование формулы для циркуляции

(названной «ЭДС») электрического поля, порождаемого магнитным ( — магнитный поток,  — время); факт индуцирования тока

в замкнутом проводе с сопротивлением , пронизываемом изменяющимся во времени магнитным потоком.

Электрическое поле, порождаемое таким способом, может быть зафиксировано пробным зарядом, но, в отличие от электростатического поля, не является потенциальным. Это поле с приведённым выше выражением для его циркуляции возникает при любом изменении магнитного потока независимо от того, есть провод вдоль контура или нет. Если есть, то потечёт ток (сам провод должен быть тонким, чтобы воспринимался как линия, но всё же не бесконечно тонким ради конечности сопротивления). Изначально закон был открыт именно для индуцированного тока, то есть в «электротехническом» смысле; рассуждения о полях появились позднее.

Исторически закон Фарадея явился одним из эмпирических законов, ставших базой для формулирования системы уравнений Максвелла. Однако в нынешней методологии, в рамках которой эти уравнения подаются как постулат, из них можно вывести закон электромагнитной индукции (логически «в обратном направлении»).

История открытия закона Электромагнитная индукция была обнаружена независимо друг от друга Майклом Фарадеем и Джозефом Генри в 1831 году, однако Фарадей первым опубликовал результаты своих экспериментов.

В первой экспериментальной демонстрации электромагнитной индукции (август 1831) Фарадей обмотал двумя проводами противоположные стороны железного тора (конструкция похожа на современный трансформатор). Основываясь на своей оценке недавно обнаруженного свойства электромагнита, он ожидал, что при включении тока в одном проводе особого рода волна пройдёт сквозь тор и вызовет некоторое электрическое влияние на его противоположной стороне. Он подключил один провод к гальванометру и смотрел на него, когда другой провод подключал к батарее. В самом деле, он увидел кратковременный всплеск тока (который он назвал «волной электричества»), когда подключал провод к батарее, и другой такой же всплеск, когда отключал его.Michael Faraday, by L. Pearce Williams, p. 182-3 В течение двух месяцев Фарадей нашёл несколько других проявлений электромагнитной индукции. Например, он увидел всплески тока, когда быстро вставлял магнит в катушку и вытаскивал его обратно, он генерировал постоянный ток во вращающемся вблизи магнита медном диске со скользящим электрическим проводом («диск Фарадея»)Michael Faraday, by L. Pearce Williams, p. 191-5.

Фарадей объяснил электромагнитную индукцию с использованием концепции так называемых силовых линий. Однако, большинство учёных того времени отклонили его теоретические идеи, в основном потому, что они не были сформулированы математически.Michael Faraday, by L. Pearce Williams, p. 510 Исключение составил Максвелл, который использовал идеи Фарадея в качестве основы для своей количественной электромагнитной теории.Maxwell, James Clerk (1904), A Treatise on Electricity and Magnetism, Vol. II, Third Edition. Oxford University Press, pp. 178-9 and 189. В работах Максвелла аспект изменения во времени электромагнитной индукции выражен в виде дифференциальных уравнений. Оливер Хевисайд назвал это законом Фарадея, хотя он несколько отличается по форме от первоначального варианта закона Фарадея и не учитывает индуцирование ЭДС при движении. Версия Хевисайда является формой признанной сегодня группы уравнений, известных как уравнения Максвелла.

Эмилий Христианович Ленц сформулировал в 1834 году закон (правило Ленца), который описывает «поток через цепь» и даёт направление индуцированной ЭДС и тока в результате электромагнитной индукции.

«Двигательная» и «трансформаторная» ЭДС Некоторые физики отмечают, что закон Фарадея в одном уравнении описывает два разных явления: двигательную ЭДС, генерируемую действием магнитной силы на движущийся провод, и трансформаторную ЭДС, генерируемую действием электрической силы вследствие изменения магнитного поля. Джеймс Клерк Максвелл обратил внимание на этот факт в своей работе О физических силовых линиях в 1861 году. Во второй половине части II этого труда Максвелл даёт отдельное физическое объяснение для каждого из этих двух явлений. Ссылка на эти два аспекта электромагнитной индукции имеется в некоторых современных учебниках. Как пишет Ричард Фейнман:

Отражение этой очевидной дихотомии было одним из основных путей, которые привели Эйнштейна к разработке специальной теории относительности:

В общем случае объяснение появления двигательной ЭДС с помощью действия магнитной силы на заряды в движущемся проводе или в изменяющем свою площадь контуре является неудовлетворительным. Действительно, заряды в проводе или в контуре могут вообще отсутствовать, исчезнет ли тогда сам эффект электромагнитной индукции в этом случае? Данная ситуация анализируется в статье, в которой при записи интегральных уравнений электромагнитного поля в четырёхмерном ковариантном виде вместо частной производной по времени в законе Фарадея появляется полная производная по времени от магнитного потока через контур // О ковариантном представлении интегральных уравнений электромагнитного поля .. Таким образом, электромагнитная индукция возникает либо при изменении со временем магнитного поля, либо при изменении площади контура. С физической точки зрения лучше говорить не об ЭДС индукции, а об индуцированной напряжённости электрического поля , возникающей в контуре при изменении магнитного потока. При этом вклад в от изменения магнитного поля осуществляется через член , где есть векторный потенциал. Если же изменяется площадь контура при неизменном магнитном поле, то неизбежно движется какая-то часть контура, и в этой части контура в связанной с ней системе отсчёта K’ возникает электрическое поле  — как результат лоренцевского преобразования имеющегося в неподвижной системе отсчёта K магнитного поля , пересекающего контур. Наличие в K’ поля рассматривается как результат эффекта индукции в движущемся контуре независимо от того, имеются ли заряды в контуре или нет. В проводящем контуре поле приводит заряды в движение. Это выглядит в системе отсчёта K как появление ЭДС индукции , градиент которой в виде , взятый вдоль контура, как бы порождает поле .

Поток через поверхность и ЭДС в контуре

Закон электромагнитной индукции Фарадея использует понятие магнитного потока через поверхность , который определён через поверхностный интеграл: , где  — площадь элемента поверхности ,  — магнитное поле, а  — скалярное произведение и . Предполагается, что поверхность имеет «устье», очерченное замкнутой кривой, обозначенной . Закон индукции Фарадея утверждает, что, когда поток изменяется, при перемещении единичного положительного пробного заряда по замкнутой кривой возникает ЭДС , величина которой определяется по формуле: , где  — величина электродвижущей силы (ЭДС) в вольтах, а  — магнитный поток в веберах. Направление электродвижущей силы определяется законом Ленца.

Для плотно намотанной катушки индуктивности, содержащей витков, каждый с одинаковым магнитным потоком , закон индукции Фарадея утверждает, что:

,

где  — магнитный поток в веберах на один виток.

Выбираемый путь для нахождения ЭДС должен удовлетворять двум основным требованиям: (i) путь должен быть замкнутым, и (ii) путь должен охватывать относительное движение частей контура (источник происхождения -зависимости в . К требованиям не относится то, что путь должен совпадать с линией тока, но, конечно, ЭДС, которая находится по закону потока, будет считаться по выбранному пути. Если путь не совпадает с линией тока, то подсчитанная ЭДС, возможно, будет не та ЭДС, которая вызывает ток.

Уравнение Фарадея — Максвелла

Переменное магнитное поле создаёт электрическое поле, описываемое уравнением Фарадея — Максвелла:

Это уравнение присутствует в современной системе уравнений Максвелла, часто его называют законом Фарадея.

В другом виде закон Фарадея может быть записан через интегральную форму теоремы Кельвина-Стокса:

.

Для выполнения интегрирования требуется независимая от времени поверхность (рассматриваемая в данном контексте как часть интерпретации частных производных). Приняты обозначения:  — поверхность, ограниченная замкнутым контуром , причём как , так и являются фиксированными, не зависящими от времени;  — электрическое поле;  — бесконечно малый элемент контура ;  — магнитное поле;  — бесконечно малый элемент вектора поверхности .

Элементы и имеют неопределённые знаки. Чтобы установить правильные знаки, используется правило правой руки (см. статью о теореме Кельвина-Стокса). Для плоской поверхности положительное направление элемента пути кривой определяется правилом правой руки, по которому на это направление указывают четыре пальца правой руки, когда большой палец указывает в направлении нормали к поверхности .

Интеграл по называется интегралом по пути или криволинейным интегралом. Поверхностный интеграл в правой части уравнения Фарадея-Максвелла является явным выражением для магнитного потока через . Видно, что ненулевой интеграл по пути для отличается от поведения электрического поля, создаваемого зарядами. Генерируемое зарядом -поле может быть выражено как градиент скалярного поля, которое является решением уравнения Пуассона и имеет нулевой интеграл по пути.

Интегральное уравнение справедливо для любого пути в пространстве и любой поверхности , для которой этот путь является границей.

ИспользуяK. Simonyi, Theoretische Elektrotechnik, 5th edition, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1973, equation 20, page 47

и принимая во внимание соотношения , и (последнее — теорема Кельвина — Стокса), находим, что полная производная магнитного потока может быть выражена как

.

Добавляя член к обеим частям уравнения Фарадея-Максвелла и вводя вышеприведённое уравнение, получаем

,

что и является законом Фарадея. Таким образом, закон Фарадея и уравнения Фарадея-Максвелла физически эквивалентны.

Рисунок показывает интерпретацию вклада магнитной силы в ЭДС в левой части уравнения. Площадь, заметаемая сегментом кривой за время при движении со скоростью , равна:

,

так что изменение магнитного потока через часть поверхности, ограниченной , за время равно

,

и, если сложить эти -вклады вокруг петли для всех сегментов , мы получим суммарный вклад магнитной силы в закон Фарадея. То есть этот термин связан с двигательной ЭДС.

Некоторые примеры В разделе обсуждаются примеры проявления закона электромагнитной индукции. Поведение соответствующих систем обычно можно описать с помощью силы Лоренца, но использование закона Фарадея часто более удобно. Насколько возможно, излагаются оба варианта.

Пространственно меняющееся магнитное поле