А́ртиново кольцо́ (по имени Э. Артина) — ассоциативное кольцо А с единичным элементом, в котором выполняется следующее условие обрыва убывающих цепей: всякая последовательность идеалов стабилизируется, то есть начиная с некоторого

Легко доказать, что это утверждение равносильно тому, что в любом непустом множестве идеалов A существует минимальный элемент. В случае некоммутативного кольца A различают левые артиновы и правые артиновы кольца: первые удовлетворяют условию убывающих цепей для левых идеалов, а вторые — для правых. В общем случае левое артиново кольцо не обязательно является правым артиновым.

Согласно теореме Артина — Веддербёрна, все простые артиновы кольца являются кольцами матриц над телом. В частности, простое кольцо является левым артиновым тогда и только тогда, когда оно является правым артиновым.

Если в определении заменить убывающие цепи на возрастающие, то получим определение нётерова кольца. Несмотря на то, что условие обрыва убывающих цепей двойственно к условию обрыва возрастающих, на самом деле первое условие является более сильным. Согласно любое левое (соотв. правое) артиново кольцо является левым (соотв. правым) нётеровым.

Примеры Артинова область целостности является полем. Кольцо с конечным числом идеалов (в частности, конечное кольцо) является артиновым. Если I — ненулевой идеал в дедекиндовом кольце, то факторкольцо по I является артиновым кольцом главных идеаловTheorem 459 на http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf . Для любого полное кольцо матриц над левым артиновым (соотв. левым нётеровым) кольцом R является левым артиновым (соотв. левым нётеровым).

Коммутативные артиновы кольца Пусть A — коммутативное нётерово кольцо с единицей. Тогда следующие условия эквивалентны: A артиново; A — конечное произведение артиновых локальных колец; Размерность A равна нулю; Спектр A является дискретнымАтья-Макдональд, Глава 8, упражнение 2..

Примечания

Литература Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — :Мир, 1972 Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра. — :ИЛ, 1963 Ленг С. Алгебра. — :Мир, 1968

Категория:Теория колец