Тела вращения — объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.
Примеры тел вращения Шар — образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза Цилиндр — образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из сторон За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь его развёртки: . Конус — образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов
За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь его развертки: .
Площадь полной поверхности конуса: .
Тор — образован окружностью, вращающейся вокруг прямой, не пересекающей егоМатематика. Энциклопедия для детей том 11й ISBN 5-94623-072-7
При вращении контуров фигур возникает поверхность вращения (например, сфера, образованная окружностью), в то время как при вращении заполненных контуров возникают тела (как шар, образованный кругом).
Объём тел вращения
Вращение вокруг оси x
Объём тела, образуемого вращением вокруг оси фигуры, ограниченной графиком функции на интервале , осью и прямыми и , равен:
Вращение вокруг оси y
Объём тела, образуемого вращением вокруг оси фигуры, ограниченной графиком функции на интервале , осью и прямыми и , равен:
Теорема Гульдина Объём и площадь поверхности тел вращения можно также узнать при помощи теорем Гульдина-Паппа, которые связывают площадь или объём с центром масс фигуры. Первая теорема Гульдина-Паппа гласит:
Площадь поверхности, образуемой при вращении линии, лежащей в плоскости целиком по одну сторону от оси вращения, равна произведению длины линии на длину окружности, пробегаемой центром масс этой линии.
Вторая теорема Гульдина-Паппа гласит:
Объём тела, образуемого при вращении фигуры, лежащей в плоскости целиком по одну сторону от оси вращения, равен произведению площади фигуры на длину окружности, пробегаемой центром масс этой фигуры.
Литература А. В. Погорелов. «Геометрия. 10-11 класс» § 21.Тела вращения. — 2011
Примечания
Ссылки
Категория:Геометрические тела