Фу́нкция Э́йри — частное решение дифференциального уравнения
называемого уравнением Эйри (впервые рассмотрено и исследовано в 1838 году британским астрономом Джорджем Бидделем Эйри) — 1248 стб. — Стб. 939—941.. Это — простейшее дифференциальное уравнение, имеющее на действительной оси точку, в которой вид решения меняется с колеблющегося на экспоненциальный.
Обычно термин «функция Эйри» применяется к двум специальным функциям — функции Эйри 1-го рода (которая при имеет колебательное поведение с постепенным уменьшением амплитуды колебаний, а при монотонно убывает по экспоненциальному закону) и функции Эйри 2-го рода (которая при также колеблется с постепенным уменьшением амплитуды колебаний, а при монотонно растёт по экспоненциальному закону); остальные частные решения уравнения Эйри представимы как линейные комбинации двух данных функций. Обозначение для первой из этих функций предложил в 1928 году Гарольд Джеффрис, использовавший первые две буквы фамилии Эйри () — P. 4.. В 1946 году добавил обозначение для функции Эйри 2-го рода, также ставшее стандартным.
В. А. Фок предложил для обозначения функций и символы U и V соответственно.
Функция Эйри является решением уравнения Шрёдингера для частицы в треугольной потенциальной яме.
Определение Для действительных функция Эйри 1-го рода определяется следующим несобственным интегралом:
Выполняя дифференцирование под знаком интеграла, убеждаемся, что полученная функция действительно удовлетворяет уравнению Эйри
Другим линейно независимым частным решением данного уравнения является функция Эйри 2-го рода у которой при колебания имеют ту же амплитуду, что и у но отличаются по фазе на . Для действительных функция Эйри 2-го рода выражается интегралом:
Для комплексных функция Эйри определяется следующим образом:
где контур представлен на рисунке. Контуры и также дают решение уравнения Эйри. Несмотря на то, что существуют три контура интегрирования, линейно независимых решений уравнения Эйри остается по-прежнему два, так как сумма интегралов по этим трём контурам равна нулю.
Функция при произвольном комплексном связана с функцией Эйри 1-го рода соотношением:
Свойства В точке функции и и их первые производные имеют такие значения:
где — гамма-функция. Отсюда следует, что при вронскиан функций и равен .
При положительных — положительная выпуклая функция, убывающая экспоненциально к 0, а — положительная выпуклая функция, возрастающая экспоненциально. При отрицательных и колеблются вокруг нуля с возрастающей частотой и убывающей амплитудой. Это подтверждается асимптотическими выражениями для функций Эйри.
Асимптотические выражения При стремящемся к :
Комплексный аргумент Функция Эйри может быть продолжена на комплексную плоскость по формуле
где интеграл берётся по контуру начинающемуся в точке на бесконечности с аргументом и заканчивающимся в точке на бесконечности с аргументом . Можно пойти с другой стороны, используя дифференциальное уравнение для продолжения и до целых функций на комплексной плоскости.
Асимптотическая формула для остаётся в силе на комплексной плоскости, если брать главное значение и не лежит на отрицательной действительной полуоси. Формула для верна, если лежит в секторе для некоторого положительного . Формулы для и верны, если лежит в секторе .
Из асимптотического поведения функций Эйри 1-го и 2-го рода следует, что они обе имеют бесконечно много нулей на отрицательной вещественной полуоси. У функции на комплексной плоскости нет других нулей, а функция имеет бесконечно много нулей в секторе .
Связь с другими специальными функциями Для положительных значений аргумента функции Эйри связаны с модифицированными функциями Бесселя:
где и — решения уравнения .
Для отрицательных значений аргумента функции Эйри связаны с функциями Бесселя:
где — решения уравнения .
Функции Скорера являются решениями уравнения Они также могут быть выражены через функции Эйри:
См. также Луч Эйри
Примечания
Литература
— P. 379—402. (See § 10.4). — P. 392—434.
Ссылки
в Digital library of mathematical functions
Категория:Специальные функции Категория:Дифференциальные уравнения