Характер биквадратичного вычета — теоретико-числовая функция двух аргументов, являющаяся частным случаем символа степенного вычета. Также является характером в простом поле.
Характер биквадратичного вычета является аналогом символа Лежандра, и для его вычисления используется биквадратичный закон взаимности, являющийся аналогом квадратичного закона взаимности.
Определение Рассмотрим D=Z[i] — кольцо целых гауссовых чисел, то есть чисел вида , где a и b — целые числа.
Пусть — простое в кольце D, с нормой . Характер биквадратичного вычета определяется следующим образом:
, если делится на . , если не делится на и . Во всех остальных случаях — одно из значений , лежащее в классе вычетов (такое значение однозначно определено).
Биквадратичный закон взаимности Назовём , не являющееся единицей, примарным, если оно сравнимо с 1 по модулю идеала . При этом неединица примарна тогда и только тогда, когда , или , .
Пусть и — взаимно простые примарные элементы в D, тогда
Другие свойства характера биквадратичного вычета тогда и только тогда, когда сравнение разрешимо, то есть тогда и только тогда, когда — биквадратичный вычет Мультипликативность: Периодичность: если , то Если — простое примарное, то
Список литературы
Категория:Теория чисел Категория:Алгебраическая теория чисел