Резольве́нта — один из важных инструментов гомологической алгебры, в частности служащий для вычисления функторов и .
Проективная резольвента
Компле́ксом над -модулем называется последовательность
такая, что произведение двух последовательных гомоморфизмов равно 0. Если все свободные, комплекс называется свободным, если проективные — проективным. Если последовательность (*) точна, то есть все гомологии при и изоморфна (считая ), то данный комплекс называется резольвентой . Так как любой модуль является фактормодулем свободного, то любой модуль можно включить в некоторую свободную (и, тем более, проективную) резольвенту.
Наименьший индекс , такой что все при нулевые, называется длиной резольвенты. Проективная размерность модуля — это наименьшая длина его проективной резольвенты. Например, проективный модуль — это в точности модуль проективной размерности 0.
Функторы находятся согласно следующей теореме: Если и — -модули, а — любая проективная резольвента , то изоморфен группе когомологий . Функторы находятся согласно следующей теореме: Если и — -модули, а — любая проективная резольвента , то изоморфен группе гомологий .
Инъективная резольвента
Комплексом под -модулем называется последовательность:
такая, что произведение двух последовательных гомоморфизмов равно 0. Если все инъективные, комплекс называется инъективным. Если последовательность (**) точна, то есть все когомологии при и изоморфна (считая ), то данный комплекс называется корезольвентой (обычно в этом случае «ко» опускается и говорится об инъективной резольвенте). Так как любой модуль является подмодулем инъективного и т. д., то любой модуль можно включить в некоторую инъективную резольвенту.
Функторы находятся согласно следующей теореме: Если и — -модули, а — любая инъективная резольвента , то изоморфен группе когомологий .
Литература
Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. — М: ИЛ, 1960 Маклейн С. Гомология. — М: Мир, 1966
Категория:Модули над кольцами Категория:Гомологическая алгебра