Квадратри́са — плоская трансцендентная кривая, определяемая кинематически. Была предложена в античные времена (V веке ) для решения задач квадратуры круга и трисекции угла. Квадратриса стала первой в математике трансцендентной кривой.

Определение Кинематическое определение квадратрисы следующее: рассмотрим квадрат (рис. 1), в который вписан сектор четверти круга. Пусть точка равномерно движется по дуге от точки до точки ; одновременно отрезок равномерно движется из положения в положение . Наконец, потребуем, чтобы оба движения начались и закончились одновременно. Тогда точка пересечения радиуса и отрезка опишет квадратрису (см. рисунки 1 и 2, выделена красным цветом).

Античные математики предубеждённо относились к кинематическим определениям кривых, считая их недостойными геометрической науки. Поэтому они предложили два других определения, не использующих понятия механического движения; эти определения приведены в сочинениях Паппа Александрийского и представляют квадратрису как проекцию некоторых кривых, связанных с винтовой линией или спиралью Архимеда. Построения эти довольно сложны и на практике не используются.

В Новое время были обнаружены и другие построения, где возникает квадратриса; например, рассмотрим пересечение витка геликоида с плоскостью, содержащей ось этой поверхности. Тогда проекция линии пересечения на плоскость, перпендикулярную оси, представляет собой ветку квадратрисы.

История Первое упоминание о квадратрисе сделали Папп АлександрийскийПапп Александрийский. Математическое собрание, книга IV, 30—34. и Ямвлих в конце III века. Папп дал и подробное описание способов её построения. Кривая открыта, по сообщению Прокла Диадоха, софистом Гиппием в V веке и использовалась им для решения задачи трисекции угла. Другой античный геометр, Динострат, провёл в IV веке исследование этой кривой и показал, что она обеспечивает также решение задачи квадратуры круга. В источниках данную кривую называют «квадратрисой Динострата» или «квадратрисой Гиппия».

Папп пишет, что математик III века Спор Никейский выдвинул два серьёзных возражения против использования квадратрисы для квадратуры круга, с которыми Папп полностью согласен: Невозможно точно согласовать движение отрезков ВС и АВ, если не знать заранее отношение длины дуги четверти окружности к радиусу, поэтому получается порочный круг. Точку К построить нельзя, потому что в соответствующий момент времени отрезок и радиус совпадают. В современной терминологии, точка К есть предел точек квадратрисы — понятие, чуждое античной математике.

В Новое время кривую исследовали Роберваль (1636), Ферма, Барроу (1670) и другие известные математики. Декарт посвятил исследованию квадратрисы немало страниц в своей «Геометрии» (1637). Ньютон в 1676 году определил длину дуги квадратрисы, её кривизну и площадь её сегмента в виде ряда, а также указал способ проведения касательных.

Уравнения кривой В полярных координатах:

ВыводПусть  — радиус круга,  — текущий угол ,  — полярный радиус. Для удобства введём время , которое за период движения меняется от 0 до 1. Тогда равномерное движение точки по дуге длиной можно выразить уравнением:

Равномерное движение отрезка выражается уравнением:

Подставляя значение из первого уравнения во второе, получаем окончательно:

В прямоугольных координатах:

ВыводПриводим уравнение в полярных координатах к виду:

Учитывая , получаем

Из геометрических соображений: . Тогда уравнение предстанет в виде:

Берём тангенс от обеих частей:

то есть

Основное свойство Уравнение квадратрисы в полярных координатах можно записать в виде: или: где Отсюда следует основное свойство данной кривой:

Ординаты любых двух точек квадратрисы относятся, как полярные углы этих точек:

Квадратриса — единственная (невырожденная) кривая в первом координатном квадранте, обладающая таким свойством (это легко доказать, повторив приведённые рассуждения в обратном порядке).

Другие свойства Площадь сегмента квадратрисы определяется формулой:

Применение

Трисекция угла Трисекция угла, то есть деление произвольного угла на три равные части, с помощью квадратрисы проводится элементарно. Пусть (рис. 1) — некоторый угол, треть которого надо построить. Алгоритм деления следующий: Находим точку на квадратрисе и её ординату . Откладываем на отрезке его третью часть; получим некоторую точку . Находим на квадратрисе точку с ординатой . Проводим луч . Угол  — искомый. Доказательство данного алгоритма сразу следует из основного свойства квадратрисы. Очевидно также, что аналогичным способом можно разделить угол не только на три, но и на любое другое число частей.

Квадратура круга

Задача квадратуры круга ставится так: построить квадрат с такой же площадью, как у заданного круга радиуса . Алгебраически это означает решение уравнения: .

Построим для исходного круга квадратрису, как на рис. 1. Используя первый замечательный предел, получаем, что абсцисса её нижней точки (на рис. 3 это отрезок ) равна . Выразим это в виде пропорции: , где  — длина окружности. Приведённое соотношение позволяет построить отрезок длины . Прямоугольник со сторонами и будет иметь нужную площадь, а построить равновеликий ему квадрат — дело несложное, см. статью Квадратура (математика) или рис. 3.

Вариации Помимо рассмотренной выше квадратрисы Динострата, существует ряд иных кривых, которые можно использовать для квадратуры круга, и поэтому также называемых квадратрисами. Квадратриса Чирнгауза (или Чирнгаузена), аффинная обычной синусоиде:

Квадратриса Озанама:

Кохлеоида с полярным уравнением .

Кроме того, ряд авторов предпочитают поменять местами x и y в уравнении квадратрисы Динострата:

Этот вариант (полная квадратриса) имеет то преимущество, что функция определена на всей вещественной оси, кроме особых точек (В точке функция доопределяется предельным переходом; см. её график при на рис. 4.) В полярных координатах центральная ветка данного варианта кривой описывается формулой:

Данная кривая имеет бесконечное число ветвей, для которых вертикальные прямые в особых точках являются асимптотами. Точки кривой с ординатой (за исключением точки на оси ординат) являются точками перегиба.

Примечания

Литература Жуков А. В. «О числе π» . М.: МЦНМО, 2002 г., 32 с ISBN 5-94057-030-5

Прошлецова И. Л. О квадратрисе Динострата // Историко-математические исследования. СПб.: Изд-во Международного фонда истории науки. Вып. 35 (1994). С. 220—229. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.

Ссылки Quadratrix of Hippias at the MacTutor archive. Quadratrix of Hippias at Convergence.

Категория:Трансцендентные кривые