Суммой Минковского двух подмножеств A и B линейного пространства V (или произвольной группы) называется множество C, состоящее из сумм всевозможных векторов из A и B:
Аналогично определяется произведение множества на число:
Свойства
Если множество A выпукло, то
для любых и .
О разности Минковского
Множества с введенной на них суммой Минковского не образуют линейного пространства (даже выпуклые). Это связано с отсутствием обратного элемента (элемент -A, очевидно, таковым не является). Разностью Минковского множеств A и B называется максимальное множество C такое, что , но легко видеть, что для многих множеств (например, квадрата и круга) разность Минковского не является операцией, обратной к сумме.
Альтернативно можно продолжить сумму Минковского на линейное пространство пар выпуклых множеств (A,B) с отношением эквивалентности
Разность Минковского также называют геометрической разностью множеств.
Вариации и обобщения Множество сумм — аналогичное определение для подмножеств групп в аддитивной и арифметической комбинаторике. Наравне с суммами рассматривается произведения множеств и другие операции.
Литература
Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
Категория:Выпуклая геометрия Категория:Евклидова геометрия Категория:Герман Минковский