Заряд — вещественнозначная конечно-аддитивная функция множества, определённая на некоторой -алгебре, (например, борелевских подмножеств).
В отличие от обычной меры, под которой обычно понимают неотрицательную функцию множества, заряд может принимать и отрицательные значения.
Множество всех зарядов над произвольным множеством с сигма-алгеброй принято обозначать .
Связанные определения Положительный заряд называется чисто конечно аддитивным, если для любой неотрицательной счётно-аддитивной меры из вытекает, что . Произвольный заряд чисто конечно аддитивен, если таковы заряды и . Заряд абсолютно непрерывен относительно меры , если
Свойства Множество всех зарядов образует нормированную решётку и даже, более того, -пространство. Для любого заряда имеется положительная часть и отрицательная часть . Имеет место разложение Хана — Жордана , в силу которого свойства зарядов могут быть выражены в терминах теории меры. Пусть . Любой заряд единственным образом представим в виде суммы , где абсолютно непрерывна относительно и дизъюнктна . Такое представление меры принято назвать разложением по Лебегу. Любой заряд единственным образом представим в виде суммы , где — произвольная счётно-аддитивная мера, а — произвольный чисто конечно-аддитивный заряд. Такое разложение иногда называют разложением Иосиды — Хьюита. Пространство является топологически сопряжённым к пространству измеримых и ограниченных функций, заданных над данным измеримым пространством.
История Термин «заряд» был впервые введён А. Д. Александровым. Изучение заряда послужило толчком для развития конечно-аддитивной теории меры (1940-е годы).
См. также
Литература Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. — : ИЛ, 1962. Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциалов. — , 1966. Халмош П. Теория меры. // Пер. с англ. — , 1953. Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces I // Матем. сборник 1940. V.8(50), N 2. P.307-348. Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces II // Матем. сборник 1941. V.9(51), N 3. P.563-628. Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces III // Матем. сборник 1943. V.13(55), N 2. P.169-293. Yosida K., Hewitt E. Finitely additive mesures // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. v. 72, N 1. P. 46—66.
Категория:Теория меры