История математических обозначений  — история разработки символов, используемых для компактной записи математических уравнений и формул. Помимо индо-арабских цифр и букв различных алфавитов (латинского, в том числе в готическом начертании, греческого и еврейского), математический язык использует множество специальных символов, изобретённых за последние несколько столетий.

Хорошо продуманные обозначения, отражающие свойства изучаемых объектов, помогают избежать ошибок или неправильной трактовки, переносят часть исследования на технический уровень, нередко «подсказывают» правильный путь к решению задачи. По словам Альфреда Уайтхеда, удачное обозначение освобождает мозг от ненужной работы, тем самым позволяя ему сосредоточиться на более важных задачах.

Первоначально (например, в «Началах» Евклида) математические утверждения формулировались словесно. Такая запись была громоздкой, часто неоднозначной, а алгебраические преобразования требовали незаурядной квалификации. Большой вклад в развитие обозначений внёс Франсуа Виет (XVI век); в частности, он начал использовать буквенные обозначения вместо конкретных чисел. Постепенно практически все слова в математических формулах (обозначения операций, отношений сравнения ) были заменены специальными символами — математика обрела собственный язык, не требующий перевода, язык с чётко определённым смыслом «слов» и строгой грамматикой, позволяющий выводить из данных истинных утверждений другие истинные.

Роль символических обозначений в математике Преимуществами символических обозначений являются компактность, однозначность толкования, лёгкость преобразований. Лейбниц в письме Чирнгаузу (1678) писал:

Следует заботиться о том, чтобы обозначения были удобны для открытий. Это достигается в наибольшей мере тогда, когда знаки коротко выражают и как бы отображают глубочайшую природу вещи; при этом удивительным образом сокращается работа мышления.

Немецкий историк Йозеф Петер Тройтляйн (Josef Peter Treutlein, 1845—1912) заметил по поводу символики, что нигде интеллектуальное содержание не связано с формой его представления так тесно, как в математике, так что для развития и углубления содержания часто необходимо усовершенствовать форму.

Другой историк математики, Мориц Кантор, указывает требования к математическому обозначению: Оно должно ясно и однозначно отражать то понятие или операцию, для которой предназначено. Оно должно быть кратким и удобным (лёгким для написания и печати). Оно должно обладать достаточной гибкостью, чтобы допускать при необходимости распространение своего смысла на более широкие области. Эти высказывания поясняют, в каком направлении исторически развивалась система математических обозначений.

Древние числовые системы и зарождение математической символики В любой цивилизации древнейшим из математических обозначений является нумерация (запись чисел). По способу образования чисел из базовых знаков (цифр) древние системы нумерации делятся на три типа Аддитивная (от  — сложение). Пример: римское число XXX, которое состоит из трёх римских символов «десять» и изображает значение 30. Субтрактивная (от  — вычитание). Пример: римское число IX, где символ единицы стоит слева от десятки и поэтому вычитается из неё. Мультипликативная (от  — умножение). Пример — китайская система записи чисел (см. ниже). Позднее появилась позиционная система счисления, в которой числовое значение цифры зависит не только от самой цифры, но и от её позиции в записи числа. Знаки операций, отношения и другие символические обозначения также появились позже, первоначально алгоритмы и формулы излагались словесно.

Древний Египет

Древнеегипетская нумерация поначалу была аналогична более поздней римской: в ней были отдельные знаки для 1, 10, 100, … 10 000 000, сочетавшиеся аддитивно (складываясь). Египтяне писали справа налево, но младшие разряды числа записывались первыми, так что в конечном счёте порядок цифр соответствовал современному. В иератическом письме уже есть отдельные обозначения для каждой цифры от 1 до 9 и сокращённые знаки для разных десятков, сотен и тысяч.

Особые знаки обозначали дроби вида , а также практически важную дробь . Общего понятия дроби у них не было, и все неканонические дроби представлялись как сумма аликвотных дробей. Типовые разложения были сведены в громоздкие таблицы.

+ Примеры изображения часто встречающихся дробей Aa13 r:Z2 D22 r:Z1*Z1*Z1*Z1 r:Z1*Z1*Z1*Z1*Z1

Пример записи дробей из Папируса РиндаGardiner Alan H. Egyptian grammar: being an introduction to the study of hieroglyphs 3rd ed., rev. London: 1957, p. 197.:

Z2:Z1*Z1 Aa16 r:Z1*Z1*Z1*Z1:Z2 r:10 Z1-Z1-Z1-Z1 5 + + + (значение: 5 )

Для обозначения операций сложения и вычитания использовался один из иероглифов: D54 или D55 Если направление «ног» у этого иероглифа совпадало с направлением письма, тогда он означал «сложение», в других случаях он означал «вычитание». Для умножения и деления специальных обозначений не было.

Вавилон

Шумеры и вавилоняне использовали шестидесятеричную позиционную систему счисления. Писали они, как и европейцы, слева направо. Однако запись необходимых 60 цифр клинописью была своеобразной. Знаков для цифр было всего два, обозначим их Е (единицы) и Д (десятки); позже появился значок для нуля. Цифры от 1 до 9 изображались как Е, ЕЕ, … ЕЕЕЕЕЕЕЕЕ. Далее шли Д, ДЕ, … ДДДДДЕЕЕЕЕЕЕЕЕ (59). Таким образом, число изображалось в позиционной шестидесятеричной системе, а его шестидесятеричные цифры — в аддитивной десятичной. Аналогично записывались дроби. Для популярных дробей 1/2, 1/3 и 2/3 были специальные знаки.

При описании алгоритмов решения уравнений знаки для неизвестных были шумерскими, из чего можно сделать вывод о древности этих алгоритмов; эти знаки употреблялись как краткие обозначения неизвестных в современной алгебре.

Китай

Китайские цифры обозначались специальными иероглифами, которые появились во 2-м тысячелетии до н. э., а их начертание окончательно установилось к III веку до н. э. Эти иероглифы применяются и в настоящее время. Китайский способ записи чисел изначально был мультипликативным. Например, число 1946 записывалось как  — «один-тысяча-девять-сто-четыре-десять-шесть». Однако на практике расчёты выполнялись на счётной доске суаньпань, где запись чисел была иной — позиционной, как в Индии, и, в отличие от вавилонян, десятичной. Нуль сначала обозначался пустым местом, специальный иероглиф появился около XII века н. э. Для умножения и деления на счётной доске были разработаны эффективные алгоритмы, описанные в руководствах словесно.

В III веке н. э. под влиянием традиционной в Китае десятичной системы мер появились и десятичные дроби. В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную.

Древняя Греция

Греческая нумерация, как египетская и римская, была аддитивной, то есть числовые значения символов складывались. Первый её вариант (аттическая, или геродианова) содержали буквенные знаки для 1, 5, 10, 50, 100 и 1000. Соответственно была устроена и счётная доска (абак) с камешками. Особый дырявый камешек обозначал нуль. Позднее (начиная с V века до н. э.) вместо аттической нумерации была принята алфавитная — из 24 букв греческого алфавита первые 9 обозначали цифры от 1 до 9, следующие 9 букв — десятки, остальные — сотни. Чтобы не спутать числа и буквы, над числами рисовали чёрточку. Числа, большие 1000, записывали позиционно, помечая дополнительные разряды специальным штрихом (внизу слева). Специальные пометки позволяли изображать и числа, большие 10 000. Древнегреческие учёные первыми стали записывать дроби вертикально — правда, числитель у них стоял не выше, а ниже знаменателя, а черты дроби не было.

Алгебраической символики у греков сначала не было. Единственным исключением можно считать краткие обозначения буквами геометрических точек, а также отрезков прямых или дуг окружности по их конечным точкам.

Вершиной античной алгебры стали труды Диофанта Александрийского (III век н. э.). Намного обогнав своё время, он ввёл буквенную символику — пока только для неизвестной величины, которую он обозначает буквой (дзета). Диофант использовал особые символы также для степеней неизвестной, вплоть до шестой, и им обратных величин. Специальный символ (перевёрнутая буква ) означал вычитание следующего за ним числа. Буква (иота, от ‘равный’) играла роль знака равенства. Все эти нововведения позволили в общем виде записать, например, правила умножения степеней (в том числе отрицательных), правило знаков при умножении на отрицательное число, способы решения неопределённых уравнений в целых числах.

Индия

Уже в древнеиндийских текстах на санскрите были предусмотрены средства для именования чисел в десятичной системе счисления, вплоть до .

Индийская нумерация вошла в историю по двум причинам. Около VI века до н. э. в Индии появились отдельные знаки для цифр от 1 до 9, ставшие прообразом современных европейских цифр; автор их неизвестен, но первые три обозначения совпадают с китайскими. Примерно в 500 году н. э. индийские учёные изобрели десятичную позиционную систему записи чисел. В новой системе выполнение арифметических действий оказалось неизмеримо проще, чем в старых, с неуклюжими буквенными кодами или с шестидесятеричными числами. Для целей новой системы потребовалось введение нового числа — нуля. Учёные расходятся во мнениях, откуда в Индию пришла эта идея — от греков, из Китая или индийцы изобрели этот важный символ самостоятельно.

Индийские математики продолжили развитие математической символики, хотя пошли по собственному пути. Сократив соответствующие санскритские термины до одного слога, они использовали их как символы неизвестных, их степеней и свободных членов уравнений. Например, умножение обозначалось знаком гу (от слова гунита, умноженный). Вычитание указывалось точкой над вычитаемым или символом «плюс» правее его. Если неизвестных было несколько, им для определённости присваивали условные цвета. Квадратный корень обозначался слогом «му», сокращением от мула (корень). Для именования степеней использовались сокращения терминов «варга» (квадрат) и «гхава» (куб): Степень Название ва гха ва ва ва гха гхата ва гха ва ва гха гхата ва ва ва гха гха Запись дробей, в отличие от греков, оформлялась по современным правилам: числитель над знаменателем, хотя целую часть смешанной дроби было принято записывать не левее, а над числителем. Сложение и умножение дробей обозначались одинаково — обе дроби просто записывались рядом; тип операции приходилось распознавать из текстовых пояснений. Знака равенства не было, правую часть уравнения записывали под левой, подравнивая одночлены по одинаковым степеням неизвестной.

Русь

Кириллическая система счисления («славянская нумерация») на Руси появилась вместе с кириллицей (IX век) и переняла греческий обычай обозначать цифры с помощью помеченных специальным значком букв. Использовались буквы, аналогичные греческим, а специфически-славянские (, , и др.) числовых значений не получили. Исключение было сделано для букв и , перенявших числовые значения архаичных греческих букв «коппа» и «сампи». Числа записывались как в римско-греческой системе — аддитивно: например, обозначало 40+3. Для больших чисел (начиная с 1000) использовались особые пометки. Кириллическая система счисления использовалась у восточных славян до XVIII века, после чего всюду, за исключением церковной литературы, была заменена на современную.

Другие народы Системам нумерации других народов посвящены статьи: Арабские цифры Армянская система счисления Еврейские цифры Кипу Римские цифры Цифры майя Японские числительные

Историческое развитие символики

Средневековье