Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида в природе невозможен: свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются, поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний или её квадрата. В акустике затухание — уменьшение уровня сигнала до полной неслышимости.
Затухающие колебания пружинного маятника
Для системы, состоящей из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой , колебания в которой совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом (вязкое трение) второй закон Ньютона запишется как: , где — сила сопротивления, а — сила упругости.
Таким образом: , или в дифференциальной форме: , где — коэффициент упругости в законе Гука, — коэффициент сопротивления, устанавливающий соотношение между скоростью движения грузика и возникающей при этом силой сопротивления.
Для упрощения вводятся следующие обозначения: .
Величину называют собственной частотой системы, — коэффициентом затухания. С такими обозначениями дифференциальное уравнение принимает вид: .
Возможные решения уравнения затухающих колебаний Уравнение для пружинного маятника является общим уравнением затухающих колебаний величины (которая, вообще говоря, не обязательно должна быть координатой); если абстрагироваться от того, как были получены параметры и в случае маятника, такое уравнение применимо для описания широкого класса систем с затуханием.
При замене получают характеристическое уравнение: , корни которого вычисляются по формуле: .
В зависимости от величины коэффициента затухания решение разделяется на три возможных варианта: апериодичность, граница апериодичности, слабое затухание.
Вариант апериодичности возникает, если , в этом случае имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:
и колебания с самого начала экспоненциально затухают.
Случай границы апериодичности имеет место при , тогда два действительных корня совпадают , и решением уравнения является: </center>, в данном случае может иметь место вре́менный рост, но потом — экспоненциальное затухание.
Вариант слабого затухания возникает при , решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня: , решением исходного дифференциального уравнения является: , где — собственная частота затухающих колебаний.
Константы и в каждом из случаев определяются из начальных условий:
См. также Логарифмический декремент колебаний
Литература
Категория:Теория колебаний Категория:Дифференциальные уравнения