Сопряжённый оператор — обобщение понятия эрмитово-сопряжённой матрицы для бесконечномерных пространств.

Линейная алгебра Преобразование называется сопряжённым линейному преобразованию , если для любых векторов и выполнено равенство . У каждого преобразования существует единственное сопряжённое преобразование. Его матрица в базисе определяется по матрице преобразования формулой , если пространство евклидово, и формулой в унитарном пространстве. здесь обозначает матрицу Грама выбранного базиса. Если он ортонормированный, эти формулы принимают вид и соответственно.

Общее линейное пространство Пусть  — линейные пространства, а  — сопряжённые линейные пространства (пространства линейных функционалов, определённых на ). Тогда для любого линейного оператора и любого линейного функционала определён линейный функционал  — суперпозиция и : . Отображение называется сопряжённым линейным оператором и обозначается .

Если кратко, то , где  — действие функционала на вектор .

Топологическое линейное пространство Пусть  — топологические линейные пространства, а  — сопряжённые топологические линейные пространства (пространства непрерывных линейных функционалов, определённых на ). Для любого непрерывного линейного оператора и любого непрерывного линейного функционала определён непрерывный линейный функционал  — суперпозиция и : . Нетрудно проверить, что отображение линейно и непрерывно. Оно называется сопряжённым оператором и обозначается также .

Банахово пространство Пусть  — непрерывный линейный оператор, действующий из банахова пространства в банахово пространство Пространства предполагаются комплексными и пусть  — сопряжённые пространства. Обозначим . Если  — фиксировано, то  — линейный непрерывный функционал в . Таким образом, для определён линейный непрерывный функционал из , поэтому определён оператор , такой что .

называется сопряжённым оператором. Аналогично можно определять сопряжённый оператор к линейному неограниченному оператору, но он будет определён не на всём пространстве.

Для справедливы следующие свойства: Оператор  — линейный. Если  — линейный непрерывный оператор, то также линейный непрерывный оператор. Пусть  — нулевой оператор, а  — единичный оператор. Тогда . . . . .

Гильбертово пространство В гильбертовом пространстве теорема Рисса даёт отождествление пространства со своим сопряжённым, поэтому для оператора равенство определяет сопряжённый оператор . Здесь  — скалярное произведение в пространстве .

См. также Эрмитов оператор

Примечания

Литература

Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.

Категория:Линейная алгебра Категория:Теория операторов