Ро́тор, рота́ция или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.
Обозначается разными способами: (наиболее распространено в русскоязычнойТакже в немецкой, откуда, по-видимому, это обозначение и попало в русскую, и почти везде в Европе, кроме Англии, где такое обозначение считается «альтернативным» . литературе), (в англоязычной литературе, предложено МаксвелломО. Хэвисайд. The relations between magnetic force and electric current . // The Electrician, 1882.), — как дифференциальный оператор набла, векторно умножаемый на векторное поле, то есть для векторного поля результат действия оператора ротора, записанного в таком виде, будет векторным произведением оператора набла и этого поля: .
Результат действия оператора ротора на конкретное векторное поле называется ротором поля или просто ротором и представляет собой новое векторноеТочнее — если — псевдовекторное поле, то — обычное векторное поле (вектор — полярный), и наоборот, если поле — поле обычного (полярного) вектора, то — псевдовекторное поле. поле:
Поле (длина и направление вектора в каждой точке пространства) характеризует в некотором смысле (см. далее) вращательную составляющую поля в соответствующих точках.
Определение Ротор векторного поля в трёхмерном пространстве — это вектор, проекция которого на каждое направление есть предел отношения циркуляции векторного поля по контуру , являющемуся краем плоской площадки, перпендикулярной этому направлению, к величине её площади , когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку (стягивание в точку — обязательное условие, просто стремления к нулю недостаточно, ведь мы хотим получить характеристику поля в одной конкретной точке):
.
Направление обхода контура выбирается так, чтобы, если смотреть в направлении , контур обходился по часовой стрелкеОбычное соглашение, согласованное с определением через векторное произведение с оператором набла..
Операция, определённая таким образом, существует строго говоря только для векторных полей над трёхмерным пространством. Об обобщениях на другие размерности — см. ниже.
Альтернативным определением может быть непосредственное вычислительное определение дифференциального оператора, сводящееся к
,
что может быть записано в конкретных координатах как это показано ниже.
Иногда можно встретиться с таким альтернативнымЭквивалентность этих определений, если предел существует и не зависит от способа стягивания точке, видна, если выбрать поверхность второго определения в виде цилиндрической поверхности с основаниями, полученными параллельным переносом площадки первого определения на очень маленькое расстояние в двух противоположных направлениях ортогонально к . В пределе же они должны приближаться к быстрее, чем уменьшается размер самой . Тогда выражение второго определения разбивается на два слагаемых, одно, содержащее интеграл по боковой поверхности, совпадает с первым определением, а второе даёт ноль в проекции на нормаль к основаниям, поскольку на основаниях само ортогонально ему. Можно вместо этого рассмотреть просто маленький параллелепипед в качестве поверхности, тогда не столь легко сразу строго, но в целом понятно аналогичное. определениемФормально сходным с определением дивергенции через поток через поверхность:
.
, где — точка, в которой определяется ротор поля , — какая-то замкнутая поверхность, содержащая точку внутри и в пределе стягивающаяся к ней, — вектор элемента этой поверхности, длина которого равна площади элемента поверхности, ортогональный поверхности в данной точке, знаком обозначено векторное произведение, — объём внутри поверхности . Это последнее определение таково, что даёт сразу вектор ротора, не нуждаясь в определении проекций на три оси отдельно.
Интуитивный образ Если — поле скорости движения газа (или течения жидкости), то — вектор, пропорциональный вектору угловой скорости очень маленькой и лёгкой пылинки (или шарика), находящегося в потоке (и увлекаемого движением газа или жидкости; хотя центр шарика можно при желании закрепить, лишь бы он мог вокруг него свободно вращаться).
Конкретно , где — эта угловая скорость.
Простую иллюстрацию этого факта — см. ниже.
Эта аналогия может быть проведена вполне строго (см. ниже). Основное определение через циркуляцию, данное выше, можно считать эквивалентным полученному таким образом.
Выражение в конкретных координатах
Формула ротора в декартовых координатах В трёхмерной декартовой системе координат ротор (в соответствии с определением выше) вычисляется следующим образом (здесь — обозначено векторное поле с декартовыми компонентами , а — орты декартовых координат):
,
или
(что можно считать альтернативным определением, по сути совпадающим с определением в начале параграфа, по крайней мере при условии дифференцируемости компонент поля).
Для удобства можно формально представлять ротор как векторное произведение оператора набла (слева) и векторного поля:
(последнее равенство формально представляет векторное произведение как определитель).
Формула ротора в криволинейных координатах
Удобным общим выражением ротора, пригодным для произвольных криволинейных координат в трёхмерном пространстве, является выражение с использованием тензора Леви-Чивиты (используя верхние и нижние индексы и правило суммирования Эйнштейна):
,
где — координатная запись тензора Леви-Чивиты, включая множитель , — метрический тензор в представлении с верхними индексами, , а — ковариантные производные от контравариантных координат вектора .
Это выражение может быть также переписано в виде:
.
Формула ротора в ортогональных криволинейных координатах
, где — коэффициенты Ламе.
Обобщения
Обобщением ротора применительно к векторным (и псевдовекторным) полям на пространствах произвольной размерности (при условии совпадения размерности пространства с размерностью вектора поля) является антисимметричное тензорное поле валентности два, компоненты которого равны:
Эта же формула может быть записана через внешнее произведение с оператором набла:
Для двумерной плоскости может быть использована аналогичная формула с псевдоскалярным произведением (такой ротор будет псевдоскаляром, и его величина совпадает с проекцией традиционного векторного произведения на нормаль к данной плоскости, если она вложена в трёхмерное евклидово пространство).
Если на двумерном вещественном пространстве (с координатами и ) введена структура комплексного пространства (с координатой ) и двумерные векторные поля записываются как комплекснозначные функции , тогда с использованием дифференцирования по комплексной переменной
ротор и дивергенцию (а они останутся действительными числами) можно записать так: , .
Основные свойства Операция ротора линейна над полем констант: для любых векторных полей и и для любых чисел (констант) и .
Если — скалярное поле (функция), а — векторное, тогда:
, .
Если поле потенциально, его ротор равен нулю (поле — безвихревое): .
Обратное верно локальноОговорка о локальности важна для общего случая, когда рассматриваемые здесь поля и могут быть определены на пространстве (многообразии) или области нетривиальной топологии, и когда условия также выполняется вообще говоря на пространстве или области нетривиальной топологии. Для случая евклидова пространства или его односвязной области оговорка о локальности не нужна, поле, ротор которого нуль на всем таком пространстве или односвязной области, будет потенциальным на всем этом пространстве или этой области. То есть тогда найдётся такое скалярное поле , что будет верно везде на этом пространстве или этой области.: если поле безвихревое, то локально (в достаточно малых областях) оно потенциально (то есть найдется такое скалярное поле , что будет его градиентом):
Таким образом, различные векторные поля могут иметь одинаковый ротор. При этом различаться они будут обязательно на безвихревое поле (то есть, локально — на градиент некоторого скалярного поля).
Дивергенция ротора равна нулю (поле ротора бездивергентно): , .
Обратное свойство также выполняется локально — если поле бездивергентно, локально оно является ротором некоторого поля , называемого его векторным потенциалом: .
Дивергенция векторного произведения двух векторных полей выражается через их роторы по формуле:
Таким образом, если и — безвихревые векторные поля, их векторное произведение будет бездивергентным и локально будет обладать векторным потенциалом. Например, если , а , легко найти векторный потенциал для : . Локально каждое бездивергентное векторное поле в трёхмерной области является векторным произведением двух градиентов.
Ротор ротора равен градиенту дивергенции минус лапласиан: .
Ротор векторного произведения полей равен: .
Физическая интерпретация При движении сплошной среды распределение её скоростей (то есть поле скорости течения жидкости) вблизи точки О задаётся формулой Коши - Гельмгольца: ,
где — вектор углового вращения элемента среды в точке , а — квадратичная форма от координат — потенциал деформации элемента среды.
Таким образом, движение сплошной среды вблизи точки складывается из поступательного движения (вектор ), вращательного движения (вектор ) и потенциального движения — деформации (вектор ). Применяя к формуле Коши — Гельмгольца операцию ротора, получим, что в точке справедливо равенство , и, следовательно, можно заключить, что когда речь идет о векторном поле, являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равен удвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.
В качестве интуитивного образа, как это описано выше, здесь можно использовать представление о вращении брошенной в поток маленькой пылинки (увлекаемой потоком с собой, без его заметного возмущения) или о вращении помещённого в поток с закреплённой осью маленького (без инерции, вращаемого потоком, заметно не искажая его) колеса с прямыми (не винтовыми) лопастями. Если то или другое при взгляде на него вращается против часовой стрелки, то это означает, что вектор ротора поля скорости потока в данной точке имеет положительную проекцию в направлении на нас.
Формула Кельвина — Стокса Циркуляция вектора по замкнутому контуру, являющемуся границей некоторой поверхности, равна потоку ротора этого вектора через эту поверхность:
Частный случай формулы Кельвина — Стокса для плоской поверхности — содержание теоремы Грина.
Примеры В этой главе будем для единичных векторов по осям (прямоугольных) декартовых координат использовать обозначение
Простой пример
Рассмотрим векторное поле , зависящее от координат и так:
.
В отношении этого примера нетрудно заметить, что , где — радиус-вектор, а , то есть поле можно рассматривать как поле скоростей точек твёрдого тела, вращающегося с единичной по величине угловой скоростью, направленной в отрицательном направлении оси (то есть по часовой стрелке, если смотреть «сверху» — против оси ). Интуитивно более или менее очевидно, что поле закручено по часовой стрелке. Если мы поместим колесо с лопастями в жидкость, текущую с такими скоростями (то есть вращающуюся как целое по часовой стрелке), в любое место, мы увидим, что оно начнет вращаться по направлению часовой стрелки. (Для определения направлений используем, как обычно, правило правой руки или правого винта). -компоненту поля будем считать равной нулю. Однако если она ненулевая, но постоянная (или даже зависящая только от ) — результат для ротора, получаемый ниже, будет тем же.
Вычислим ротор:
Как и предположили, направление совпало с отрицательным направлением оси . В данном случае ротор оказался константой, то есть поле оказалось однородным, не зависящим от координат (что естественно для вращения твёрдого тела). Что замечательно,