След () — отображение элементов конечного расширения поля в исходное поле K, определяемое следующим образом:
Пусть E — конечное расширение K степени , — элемент поля E. Поскольку E является векторным пространством над полем K, этот элемент определяет линейное преобразование . Этому преобразованию в некотором базисе можно сопоставить матрицу. След этой матрицы называется следом элемента α. Так как в другом базисе данному отображению будет соответствовать подобная матрица с тем же следом, след не зависит от выбора базиса, то есть каждому элементу расширения однозначно сопоставляется его след. Он обозначается или, если понятно, о каком расширении идёт речь, просто .
Свойства следа
при Если Е — сепарабельное расширение, то — ненулевой функционал, если несепарабельно, то . След транзитивен, то есть для цепочки расширений имеем Если — простое алгебраическое расширение и — минимальный многочлен α, то
Выражение следа через автоморфизмы E над K
Пусть σ1,σ2…σm — все автоморфизмы E, оставляющие неподвижными элементы K. Если E сепарабельно, то m равно степени [E:К]=n. Тогда для следа существует следующее выражение:
Если E несепарабельно то m≠n, но n кратно m, причём частное является некоторой степенью характеристики p: n=pim.
Тогда
Пример Пусть K — поле действительных чисел, а E — поле комплексных чисел. Тогда след числа равен . След комплексного числа можно вычислить по формуле , и это хорошо согласуется с тем, что комплексное сопряжение — единственный автоморфизм поля комплексных чисел.
См. также Норма (теория полей)
Литература Ван дер Варден Б. Л. Алгебра -М:, Наука, 1975 Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963 Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967
Категория:Теория полей