Систе́ма координа́т — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.
В математике координаты — совокупность чисел, сопоставленных точкам многообразия в некоторой карте определённого атласа.
В элементарной геометрии координаты — величины, определяющие положение точки на плоскости и в пространстве. На плоскости положение точки чаще всего определяется расстояниями от двух прямых (координатных осей), пересекающихся в одной точке (начале координат) под прямым углом; одна из координат называется ординатой, а другая — абсциссой. В пространстве по системе Декарта положение точки определяется расстояниями от трёх плоскостей координат, пересекающихся в одной точке под прямыми углами друг к другу, или сферическими координатами, где начало координат находится в центре сферы.
В географии координаты выбираются как (приближённо) сферическая система координат — широта, долгота и высота над известным общим уровнем (например, океана). См. Географические координаты.
В астрономии небесные координаты — упорядоченная пара угловых величин (например, прямое восхождение и склонение), с помощью которых определяют положение светил и вспомогательных точек на небесной сфере. В астрономии употребляют различные системы небесных координат. Каждая из них по существу представляет собой сферическую систему координат (без радиальной координаты) с соответствующим образом выбранной фундаментальной плоскостью и началом отсчёта. В зависимости от выбора фундаментальной плоскости система небесных координат называется горизонтальной (плоскость горизонта), экваториальной (плоскость экватора), эклиптической (плоскость эклиптики) или галактической (галактическая плоскость).
Наиболее используемая система координат — прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат).
Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных способов. Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае. Известным обобщением системы координат являются системы отсчёта и системы референции.
Основные системы
В этом разделе даются разъяснения к наиболее употребляемым системам координат в элементарной математике.
Декартовы координаты Расположение точки на плоскости определяется декартовыми координатами с помощью пары чисел — расстояние от точки до оси с учётом знака — расстояние от точки до оси с учётом знака
В пространстве необходимы уже три координаты — расстояние от точки до плоскости — расстояние от точки до плоскости — расстояние от точки до плоскости
Полярные координаты
Поля́рная систе́ма координа́т (лат. polus — полюс, от др.-греч. πόλος — полюс, ось) — система координат на плоскости, определяющаяся двумя полярными координатами и , которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами и следующими выражениями:
где .
Такие ограничения на значения полярных координат ставятся для того, чтобы соответствие между точками плоскости, отличными от полюса, и парами полярных координат получилось взаимно однозначным.
Полярные координаты — координаты произвольной точки плоскости в выбранной полярной системе координат в виде следующих двух чисел: полярный радиус , — расстояние от полюса до точки ; полярный угол , — угол, на который поворачивается полярная ось до совмещения с точкой .
В этих определениях предполагается, что полюс и точка не совпадают. Полюс находится на особом положении: его полярный радиус полагается равным нулю, а полярный угол — неопределённым, то есть ему можно приписать любое значение (иногда приписывают значение ).
Полярная система координат ортогональна. Ортогональные полярной системы координат суть концентрические окружности при и лучи при .
Полярная система координат особенно проста и полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов, тогда как в более распространённой декартовой системе координат такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.
Примеры неоднозначности координат. Как полярные координаты , , так и , задают одну и ту же точку плоскости. Как полярные координаты , , так и , и , задают также одну и ту же точку плоскости (см. рисунок справа с этими точками и ).
Часто требуется в ущерб однозначности поддерживать непрерывное изменение полярных координат точек (например, в уравнениях, описывающих кривые на плоскости). Тогда отказываются от приведённых ограничений для и . Закон изменения значений полярных координат и выясняется в каждом конкретном случае. Обычно в качестве полярного угла берут величину , где — произвольное целое число, а полярному радиусу приписывают знак плюс или минус, смотря по ситуации (имеется более подробное описание).
Обобщённая полярная система координат — система координат на плоскости, определяющаяся двумя обобщёнными полярными координатами и , которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами и следующими выражениями:
где .
Координатные линии обобщённой полярной системы координат суть эллипсы при и лучи при .
Полярную систему координат в трёхмерном пространстве представляют цилиндрическая система координат и сферическая система координат.
Цилиндрические координаты
Цилиндрические координаты — трёхмерный аналог полярных, в котором точка представляется упорядоченной тройкой В терминах декартовой системы координат,
(радиус) — расстояние от оси (полюса) до проекции точки на плоскость , (азимут или долгота) — угол между положительной («плюсовой») частью оси и отрезком, проведённым от полюса до точки и спроецированным на плоскость . (высота) равна декартовой -координате точки .
Примечание: в литературе для первой (радиальной) координаты иногда используется обозначение , для второй (угловой, или азимутальной) — обозначение , для третьей координаты — обозначение .
Полярные координаты имеют один недостаток: значение не определено при .
Цилиндрические координаты полезны для изучения систем, симметричных относительно некоторой оси. Например, длинный цилиндр с радиусом в декартовых координатах (с осью , совпадающей с осью цилиндра) имеет уравнение тогда как в цилиндрических координатах оно выглядит гораздо проще, как .
Сферические координаты
Сферические координаты — трёхмерный аналог полярных.
В сферической системе координат расположение точки определяется тремя компонентами: В терминах декартовой системы координат, (радиус) — расстояние от точки до полюса, (азимут или долгота) — угол между положительной («плюсовой») полуосью и проекцией отрезка, проведённого из полюса до точки , на плоскость . (широта или полярный угол) — угол между положительной («плюсовой») полуосью и отрезком, проведённым из полюса до точки . Примечание: в литературе иногда азимут обозначается , а полярный угол - . Иногда для радиальной координаты используется вместо . Кроме того, диапазон углов для азимута может выбираться как (−180°, +180°] вместо диапазона [0°, +360°). Наконец, полярный угол может отсчитываться не от положительного направления оси , а от плоскости ; в этом случае он лежит в диапазоне [−90°, +90°], а не в диапазоне [0°, 180°]. Иногда порядок координат в тройке выбирается отличным от описанного; например, полярный и азимутальный углы могут быть переставлены.
Сферическая система координат также имеет недостаток: и не определены, если = 0; угол не определён также и для граничных значений = 0 и = 180° (или для = ±90°, в случае принятия соответствующего диапазона для этого угла).
Для построения точки по её сферическим координатам нужно от полюса вдоль положительной полуоси отложить отрезок, равный , повернуть его на угол вокруг оси в направлении положительной полуоси , и затем повернуть на угол вокруг оси в направлении положительной полуоси .
Сферические координаты полезны при изучении систем, симметричных относительно точки. Так, уравнение сферы с радиусом в декартовых координатах с началом отсчёта в центре сферы выглядит как тогда как в сферических координатах оно становится намного проще:
Другие распространённые системы координат Аффинная (косоугольная) система координат — прямолинейная система координат в аффинном пространстве. На плоскости задаётся точкой начала координат и двумя упорядоченными неколлинеарными векторами, которые представляют собой аффинный базис. Осями координат в данном случае называются прямые, проходящие через точку начала координат параллельно векторам базиса, которые, в свою очередь, задают положительное направление осей. В трёхмерном пространстве, соответственно, аффинная система координат задаётся тройкой линейно независимых векторов и точкой начала координат. Для определения координат некоторой точки вычисляются коэффициенты разложения вектора ОМ по векторам базиса. Барицентрические координаты были впервые введены в 1827 году А. Мёбиусом, решавшим вопрос о центре тяжести масс, расположенных на вершинах треугольника. Они аффинно инвариантны, представляют собой частный случай общих однородных координат. Точка с барицентрическими координатами расположена в -мерном векторном пространстве , а собственно координаты при этом относятся к фиксированной системе точек, которые не лежат в (−1)-мерном подпространстве. Барицентрические координаты используются также и в алгебраической топологии применительно к точкам симплекса. Биангулярные координаты — частный случай бицентрических координат, система координат на плоскости, задаваемая двумя фиксированными точками и , через которые проводится прямая, выступающая в качестве оси абсцисс. Позиция некоторой точки , которая не лежит на этой прямой, определяется углами и . Биполярные координаты характеризуются тем, что в качестве координатных линий на плоскости в этом случае выступают два семейства окружностей с полюсами и , а также семейство окружностей, ортогональных к ним. Преобразование биполярных координат в декартовы прямоугольные осуществляется посредством специальных формул. Биполярные координаты в пространстве называются бисферическими; в этом случае координатными поверхностями являются сферы, поверхности, образуемые вращением дуг окружностей, а также полуплоскости, проходящие через ось . Бицентрические координаты — всякая система координат, которая основана на двух фиксированных точках и в рамках которой положение некоторой другой точки определяется, как правило, степенью её удаления или вообще позицией относительно этих двух основных точек. Системы подобного рода могут быть довольно полезны в определённых сферах научных исследований. Бицилиндрические координаты — система координат, которая образуется в том случае, если система биполярных координат на плоскости параллельно переносится вдоль оси . В качестве координатных поверхностей в этом случае выступают семейство пар круговых цилиндров, оси которых параллельны, семейство ортогональных к ним круговых цилиндров, а также плоскость. Для перевода бицилиндрических координат в декартовы прямоугольные для трёхмерного пространства также применяются специальные формулы. Диполярные координаты — трёхмерная криволинейная ортогональная система координат, основанная на точечном (центральном) диполе, точнее, на его инвариантах преобразования координат. Одним из инвариантов является эквипотенциальная поверхность, которая служит координатной поверхностью; другой инвариант — силовые линии векторного поля, перпендикулярные эквипотенциальным поверхностям. Преобразование сферических или декартовых координат в диполярные осуществляется посредством специальных формул. Конические координаты — трёхмерная ортогональная система координат, состоящая из концентрических сфер, которые описываются посредством их радиуса, и двух семейств перпендикулярных конусов, расположенных вдоль осей и .