Дзе́та-фу́нкция Ри́мана — функция ζ(s) комплексного переменного s = σ + it, при σ > 1, определяемая с помощью ряда Дирихле:
В комплексной полуплоскости этот ряд сходится, является аналитической функцией от и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость, за исключением особой точки
Дзета-функция Римана играет очень важную роль в аналитической теории чисел, имеет приложения в теоретической физике, статистике, теории вероятностей.
В частности, если будет доказана или опровергнута до сих пор ни доказанная, ни опровергнутая гипотеза Римана о положении всех нетривиальных нулей дзета-функции на прямой комплексной плоскости , то многие важные теоремы о простых числах, опирающиеся в доказательстве на гипотезу Римана, станут либо истинными, либо ложными.
Тождество Эйлера В области также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)
Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.
Свойства
Если взять асимптотическое разложение при частичных сумм вида , справедливую для , она же останется верной и для всех , кроме тех, для которых (это тривиальные корни дзета-функции). Из этого можно получить следующие формулы для : , при , кроме ; , при , кроме или ; , при , кроме , или и т. д.
Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках: , где — число Бернулли. В частности, (ряд обратных квадратов), Кроме того, получено значение , где — полигамма-функция; Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока (2019 г.) доказана только лишь иррациональность числа ζ(3) (Роже Апери, 1978), а также то, что среди значений ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) есть хотя бы ещё одно иррациональное. При , где — функция Мёбиуса , где — функция Лиувилля , где — число делителей числа
, где — число простых делителей числа
При , где — функция Эйлера имеет в точке простой полюс с вычетом, равным 1. При натуральных верна следующая формула:
Дзета-функция при удовлетворяет уравнению: , где — гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана, хотя последний и не является ни его автором, ни тем, кто его первым строго доказал. Для функции , введённой Риманом для исследования и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид: .
Нули дзета-функции
Бернхард Риман представил Дзета-функцию в виде интеграла при :
Из которого в последствии было получено аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость.
Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскости функция имеет лишь простые нули в отрицательных чётных точках: . Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее, при вещественных . Следовательно, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами. Кроме того, они обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали и лежат в полосе , которая называется критической полосой. Согласно гипотезе Римана, они все находятся на критической прямой .
Представления конкретных значений ζ(1/2)
Значение определяется через аналитическое продолжение дзета-функции Римана; в частности, его можно выразить через эта-функцию Дирихле: .
ζ(2)
Из формулы , где — число Бернулли, получаем, что .
Другие представления в виде рядов Ниже приведены другие ряды, сумма которых равна :
Существуют также представления для вида формулы Бэйли — Боруэйна — Плаффа, позволяющие в некоторых системах счисления вычислять -й знак его записи без вычисления предыдущих:
Интегральные представления
Ниже приведены формулы для с участием интегралов, полученные с использованием дзета-функции Римана:
Цепные дроби
Некоторые из представлений в виде цепных дробей были получены в связи с аналогичными представлениями для константы Апери , дающими возможность доказать её иррациональность.
ζ(3)
Одним из наиболее коротких представлений является , получаем, что , где — полигамма-функция.
Интегральные представления
Цепные дроби Цепная дробь для константы Апери () выглядит следующим образом:
Первую обобщённую цепную дробь для константы Апери, имеющую закономерность, открыли независимо Стилтьес и Рамануджан:
Она может быть преобразована к виду:
Апери смог ускорить сходимость цепной дроби для константы:
ζ(4) Из формулы , где — число Бернулли, получаем, что .
ζ(5) Одним из наиболее коротких представлений является , получаем, что , где — полигамма-функция.
Обобщения Существует довольно большое количество специальных функций, связанных с дзета-функцией Римана, которые объединяются общим названием дзета-функции и являются её обобщениями. Например:
Дзета-функция Гурвица:
которая совпадает с дзета-функцией Римана при = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).
Полилогарифм:
который совпадает с дзета-функцией Римана при = 1.
Дзета-функция Лерха:
которая совпадает с дзета-функцией Римана при = 1 и = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).
Квантовый аналог (-аналог).
Аналогичные конструкции В теории гауссовых интегралов по траекториям возникает задача регуляризации детерминантов. Одним из подходов к её решению является введение дзета-функции оператора. Пусть — неотрицательно определённый самосопряжённый оператор, имеющий чисто дискретный спектр . Причём существует вещественное число , такое, что оператор имеет след. Тогда дзета-функция оператора определяется для произвольного комплексного числа , лежащего в полуплоскости , может быть задана сходящимся рядом
Если заданная таким образом функция допускает аналитическое продолжение на область, содержащую некоторую окрестность точки , то на её основе можно определить регуляризованный детерминант оператора в соответствии с формулой
История Как функция вещественной переменной дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексного переменного.
См. также Список всех дзета-функций
Примечания
Литература .
Ссылки
Категория:Дзета- и L-функции