Эллиптическая криптография — раздел криптографии, который изучает асимметричные криптосистемы, основанные на эллиптических кривых над конечными полями. Основное преимущество эллиптической криптографии заключается в том, что на сегодняшний день неизвестны субэкспоненциальные алгоритмы дискретного логарифмирования.
Использование эллиптических кривых для создания криптосистем было независимо друг от друга предложено Нилом Коблицем и Виктором Миллером в 1985 году.
Введение В 1985 году независимо Нилом Коблицем и Виктором Миллером было предложено использовать в криптографии алгебраические свойства эллиптических кривых. С этого момента началось бурное развитие нового направления криптографии, для которого используется термин «криптография на эллиптических кривых». Роль основной криптографической операции выполняет операция скалярного умножения точки на эллиптической кривой на данное целое число, определяемая через операции сложения и удвоения точек эллиптической кривой. Последние, в свою очередь, выполняются на основе операций сложения, умножения и инвертирования в конечном поле, над которыми рассматривается кривая. Особый интерес к криптографии эллиптических кривых обусловлен теми преимуществами, которые дает её применение в беспроводных коммуникациях — высокое быстродействие и небольшая длина ключаБолотов А. А., Гашков С. Б., Фролов А. Б., Часовских А. А.. Элементарное введение в эллиптическую криптографию. 11 с.. Асимметричная криптография основана на сложности решения некоторых математических задач. Ранние криптосистемы с открытым ключом, такие как алгоритм RSA, криптостойки благодаря тому, что сложно разложить составное число на простые множители. При использовании алгоритмов на эллиптических кривых полагается, что не существует субэкспоненциальных алгоритмов для решения задачи дискретного логарифмирования в группах их точек. При этом порядок группы точек эллиптической кривой определяет сложность задачи. Считается, что для достижения такого же уровня криптостойкости, как и в RSA, требуются группы меньших порядков, что уменьшает затраты на хранение и передачу информации. Например, на конференции RSA 2005 Агентство национальной безопасности объявило о создании «Suite B», в котором используются исключительно алгоритмы эллиптической криптографии, причём для защиты информации, классифицируемой до «Top Secret», используются всего лишь 384-битные ключи.
Эллиптические кривые над конечными полями
Эллиптической кривой называется множество точек , удовлетворяющих уравнению:
Это уравнение может рассматриваться над произвольными полями и, в частности, над конечными полями, представляющими для криптографии особый интерес.
В криптографии эллиптические кривые рассматриваются над двумя типами конечных полей: простыми полями нечётной характеристики (, где — простое число) и полями характеристики 2 ().
Эллиптические кривые над полями нечётной характеристики
Над полем характеристики уравнение эллиптической кривой E можно привести к виду:
где — константы, удовлетворяющие .
Группой точек эллиптической кривой E над полем называется множество пар , лежащих на E, объединённое с нулевым элементом :
Следует отметить, что в у каждого ненулевого элемента есть либо два квадратных корня, либо нет ни одного, поэтому точки эллиптической кривой разбиваются на пары вида и .
Пример Рассмотрим эллиптическую кривую над полем . На этой кривой, в частности, лежит точка , так как . Легко проверить, что точки , , , это все точки данной кривой.
Теорема Хассе
Теорема Хассе об эллиптических кривых утверждает, что количество точек на эллиптической кривой близко к размеру конечного поля:
что влечёт:
Эллиптические кривые над полями характеристики 2 Над полем характеристики 2 рассматривают два вида эллиптических кривых: Суперсингулярная кривая
Несуперсингулярная кривая
Особое удобство суперсингулярных эллиптических кривых в том, что для них легко вычислить порядок, в то время как вычисление порядка несуперсингулярных кривых вызывает трудности. Суперсингулярные кривые особенно удобны для создания самодельной ЕСС (Elliptic-curve cryptography) криптосистемы. Для их использования можно обойтись без трудоёмкой процедуры вычисления порядка.
Проективные координаты
Для вычисления суммы пары точек на эллиптической кривой требуется не только несколько операций сложения и умножения в , но и операция обращения, то есть для заданного нахождение такого , что , которая на один-два порядка медленнее, чем умножение. К счастью, точки на эллиптической кривой могут быть представлены в различных системах координат, которые не требуют использования обращения при сложении точек: в проективной системе координат каждая точка представляется тремя координатами , которые удовлетворяют соотношениям: , . в системе координат Якоби точка также представляется тремя координатами с соотношениями: , . в системе координат Лопес-Дахаб (洛佩斯·達哈卜 кит. / Lopez-Dahab лат.) выполняется соотношение: , . в модифицированной системе координат Якоби используются 4 координаты с теми же соотношениями. в системе координат Чудновского-Якоби используется 5 координат .
Важно отметить, что могут существовать различные именования — например, IEEE P1363-2000 называет проективными координатами то, что обычно называют координатами Якоби.
Шифрование/дешифрование с использованием эллиптических кривых
Первой задачей в рассматриваемой системе является шифрование открытого текста сообщения , для точки . Здесь точка будет представлять закодированный в неё текст и впоследствии будет раскодироваться. Обратите внимание, невозможно закодировать сообщение просто координатой или точки, так как не все такие координаты имеются в . Как и в случае системы обмена ключами, в системе шифрования, расшифрования в качестве параметров тоже рассматривается точка и эллиптическая группа . Пользователь выбирает личный ключ и генерирует открытый ключ . Чтобы зашифровать и послать сообщение пользователю , пользователь выбирает случайное положительное целое число и вычисляет шифрованный текст , состоящий из пары точек . При этом, — пара точек. Заметим, что сторона использует открытый ключ стороны : . Чтобы дешифровать этот шифрованный текст, умножает первую точку в паре на секретный ключ и вычитает результат из второй точки:
Пользователь замаскировал сообщение с помощью добавления к нему . Никто, кроме этого пользователя не знает значения , поэтому, хотя и является открытым ключом, никто не сможет убрать маску . Однако, пользователь включает в сообщение и "подсказку", которой будет достаточно, чтобы убрать маску тому, кто имеет личный ключ . Противнику для восстановления сообщения придется вычислить по данным и , что представляется трудной задачейЖданов О.Н., Золотарев В.В. Методы и средства криптографической защиты информации. 167 с..
Арифметические операции с точками на эллиптической кривой не эквивалентны этим арифметическим операциям с их координатами.
Точки эллиптической кривой над конечным полем представляют собой группу. Умножение сводится к многократным удвоению и суммированию.
Например, G+G ≠ 2G (), 2G + 2^115G = 2^115G + 2G (суммирование коммутативно);
2G = 2*G; 4G = 2*2G; 8G = 2*4G; 16G = 2*8G, и т. д. (для двух одинаковых точек — только операция удвоения);
25*G; 25 = 11001 (in binary); 25 = 1*2^0 + 0*2^1 + 0*2^2 + 1*2^3 + 1*2^4 = 1 + 8 + 16; 25G = 16G + 8G + G = 1*(2^4)G + 1*(2^3)G + 1*G (операция суммирования).
24G/3 = 24G * (3^-1 mod P); where 3^(-1) mod P - Обратное по модулю число,
5G - 3G = 5G + (-3G); где -3G = nG - 3G = O - 3G - Эллиптическая кривая.
Пример
Рассмотрим случай , , что соответствует кривой и . Предположим, что пользователь собирается отправить пользователю сообщение, которое кодируется эллиптической точкой , и что пользователь выбирает случайное число . Открытым ключом является . Имеем:
. Таким образом, пользователь должен послать шифрованный текст .
Реализация шифрования Конкретные реализации алгоритмов шифрования на эллиптической кривой описаны ниже. Здесь рассмотрим общие принципы эллиптической криптографии.
Набор параметров
Для использования эллиптической криптографии все участники должны согласовать все параметры, определяющие эллиптическую кривую, т. е. набор параметров криптографического протокола. Эллиптическая кривая определяется константами и из уравнения (2). Абелева подгруппа точек является циклической и задается одной порождающей точкой G. При этом кофактор , где n — порядок точки G, должен быть небольшим (, желательно даже ).
Итак, для поля характеристики 2 набор параметров: , а для конечного поля , где , набор параметров: .
Существует несколько рекомендованных наборов параметров: NIST SECGSEC 2: Recommended Elliptic Curve Domain Parameters
Для создания собственного набора параметров необходимо сделать следующее. Выбрать набор параметров. Найти эллиптическую кривую, удовлетворяющую этому набору параметров.
Для нахождения кривой для заданного набора параметров используются два метода. Выбрать случайную кривую, затем воспользоваться алгоритмом подсчета точекSchoof's algorithmSchoof–Elkies–Atkin algorithm. Выбрать точки, после чего построить кривую по этим точкам, используя технику умножения.
Существует несколько классов криптографически «слабых» кривых, которых следует избегать: Кривые над , где — не простое число. Шифрование на этих кривых подвержено атакам Вейля. Кривые с уязвимы для атаки, которая отображает точки данной кривой в аддитивную группу поля .
Быстрая редукция (NIST-кривые)
Деление по модулю p (которое необходимо для операций сложения и умножения) может выполняться быстрее, если в качестве p выбрать простое число, близкое к степени числа 2. В частности, в роли p может выступать простое число Мерсенна. Например, хорошим выбором являются или . Национальный институт стандартов и технологий (NIST) рекомендует использовать подобные простые числа в качестве p.
Ещё одним преимуществом кривых, рекомендованных NIST, является выбор значения , что ускоряет операцию сложения в координатах Якоби.
Эллиптические кривые, рекомендованные NIST
NIST рекомендует 15 эллиптических кривых, многие из которых были получены Jerry Solinas (NSA) на базе наработок Нила Коблица. В частности, FIPS 186-3FIPS 186-3 // NIST, 2009; устарел в 2013 году с выходом FIPS 186-4 рекомендует 10 конечных полей. Некоторые из них: поля , где простое p имеет длину 192, 224, 256, 384 или 521Может показаться, что в этой последовательности допущена ошибка. Однако, последняя величина именно 521, а не 512 битов. бит, поля , где m = 163, 233, 283, 409 или 571.
Причём для каждого конечного поля рекомендуется одна эллиптическая кривая. Эти конечные поля и эллиптические кривые выбраны, как часто ошибочно считается, из-за высокого уровня безопасности. По заявлениям NIST, их выбор был обоснован эффективностью программной реализацииDaniel J. Bernstein, Tanja Lange, Security dangers of the NIST curves // 2013.09.16: "Why did NIST choose these curves? * Most people we have asked: security * Actual NIST design document: eficiency" ( ). Имеются сомнения в безопасности по крайней мере нескольких из нихDr Michael Scott, Backdoors in NIST elliptic curves , Oct 24, 2013: "The curves themselves were suggested by Jerry Solinas who worked at the NSA.".
Размер ключа
Самым быстрым алгоритмом, решающим задачу дискретного логарифмирования на эллиптических кривых, таким как алгоритм Шенкса и ρ-метод Полларда, необходимо операций. Поэтому размер поля должен как минимум в два раза превосходить размер ключа. Например, для 128-битного ключа рекомендуется использовать эллиптическую кривую над полем , где p имеет длину 256 бит.
Самые сложные схемы на эллиптических кривых, публично взломанные к настоящему времени, содержали 112-битный ключ для конечного простого поля и 109-битный ключ для конечного поля характеристики 2.