Предел вдоль фильтра (предел по базису фильтра, предел по базе) — обобщение понятия предела.
Определение фильтра
Пусть дано множество Непустая система подмножеств множества называется базисом фильтра (базой) множества , если для любого выполнено для любых существует такое, что
Определение предела Везде далее — базис фильтра (база) множества .
Предел числовой функции Пусть . Число называется пределом функции по базе если для любого существует такое, что для всех выполнено неравенство Обозначение предела по базе:
Предел функции со значениями в метрическом пространстве Пусть — метрическое пространство и . Точка называется пределом функции по базе если для любого существует такое, что для всех выполнено неравенство Обозначение:
Предел функции со значениями в топологическом пространстве Пусть — топологическое пространство и . Точка называется пределом функции по базе если для любой окрестности точки существует такое, что , то есть для всех выполняется включение . Обозначение:
Замечание. Последнее «равенство» корректно использовать лишь в случаях, когда пространство — хаусдорфово. Пределом функции со значениями в нехаусдорфовом пространстве могут быть сразу несколько различных точек (и, таким образом, нарушается теорема о единственности предела).
Примеры
Обычный предел Пусть — топологическое пространство, и Пусть Тогда система множеств
является базисом фильтра множества и обозначается или просто Предел функции по базе множества называется пределом функции в точке и обозначается записью .
Односторонние пределы
Пусть и Тогда система множеств
является базисом фильтра и обозначается или Предел называется правосторонним пределом функции при стремящемся к
Пусть и Тогда система множеств
является базисом фильтра и обозначается или Предел называется левосторонним пределом функции при стремящемся к
Пределы на бесконечности
Пусть и Тогда система множеств
является базисом фильтра и обозначается или Предел называется пределом функции при стремящемся к бесконечности.
Пусть и Тогда система множеств
является базисом фильтра и обозначается Предел называется пределом функции при стремящемся к минус-бесконечности.
Предел последовательности
Система множеств где
является базисом фильтра и обозначается Функция называется числовой последовательностью, а предел пределом этой последовательности.
Интеграл Римана
Пусть Назовём размеченным разбиением отрезка пару такую, что Назовём диаметром разбиения число Тогда система множеств где
является базисом фильтра в пространстве всех размеченных разбиений Определим функцию равенством
Тогда предел называется интегралом Римана функции на отрезке
Литература Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в двух томах), — : Высшая школа, т. II — 584 с. — 1981.
Категория:Пределы Категория:Теория решёток Категория:Общая топология