Дифференциальные формы в электромагнетизме — одна из возможных математических формулировок классической электродинамики при помощи дифференциальных форм в четырёхмерном пространстве-времени.
Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:
Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока, дуальная к 4-вектору тока, имеет вид
В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как , , где — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.
2-форма также называется 2-формой Максвелла.
Первые два уравнения Максвелла в этой записи принимают особенно простой вид: Из фундаментального свойства внешнего дифференциала следует, что всякая форма, представимая как внешний дифференциал, автоматически замкнута. В пространстве справедлива , согласно которой всякая замкнутая форма является точной. Поэтому из уравнения следует существование 1-формы , называемой 4-потенциалом электромагнитного поля, для которой
Форма определяется по неоднозначно: прибавление точной 1-формы не меняет результат, поскольку :
Для 4-потенциала это означает калибровочную инвариантность:
Благодаря свойству , из уравнения автоматически следует закон сохранения тока:
Преимущество формулировки Максвелла на языке дифференциальных форм — в ее общности: уравнения применимы для любого 4-многообразия (в ОТО), а не только для плоского пространства Минковского.
Литература Арнольд В. И. Математические методы классической механики, М.: Едиториал УРСС, 2003. — ISBN 5-354-00341-5 Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971 Болибрух А. А. Уравнения Максвелла и дифференциальные формы, МЦНМО, 2002.
См. также Диада () Двухэлементный тензор () Умножение двухэлементного тензора () Кватернион Внешняя алгебра
Категория:Электродинамика Категория:Дифференциальные формы