Числовая функция

Числова́я фу́нкция (в математике) — функция, которая действует из одного числового пространства (множества) в другое числовое пространство (множество)Область определения и область значений числовой функции суть подмножество числового пространства.. Числовые множества — это множества натуральных (), целых (), рациональных (), вещественных () и комплексных чисел () вместе с определёнными для соответствующих множеств алгебраическими операциями. Для всех перечисленных числовых множеств, кроме комплексных чисел, определено также отношение линейного порядка, позволяющее сравнивать числа по величине. Числовые пространства — это числовые множества вместе с функцией расстояния, заданной на соответствующем множестве.

В самом общем случае, числовая функция — это функция, принимающая значения в области вещественных чисел и которая задана на произвольном (чаще всего) метрическом пространстве. Такова, например, индикаторная или характеристическая функция множества. Другой пример числовой функции — это функция расстояния (или, что то же самое, метрика).

Числовые функции, заданные на множестве вещественных или комплексных чисел называются функциями соответственно вещественного или комплексного переменного и являются предметом рассмотрения в анализе: вещественнозначные функции вещественного переменного рассматриваются в математическом анализе, комплекснозначные функции комплексного переменного рассматриваются в комплексном анализе. Важнейший предмет рассмотрения в анализе — представление числовых функций в виде системы приближений (числовых и функциональных рядов).

Числовые функции обладают как общими свойствами, которыми могут обладать отображения произвольных метрических пространств (например, непрерывность), так и рядом свойств, непосредственно связанных с природой числовых пространств. Таковы свойства дифференцируемости, интегрируемости, суммируемости, измеримости (для произвольных числовых функций); а, также, свойства чётности (нечётности), монотонности (для вещественнозначных функций вещественного переменного); аналитичности, многолистности (для комплекснозначных функций комплексного переменного).

Числовые функции широко используются на практике при решении прикладных задач.

Свойства

Свойства, связанные с отношением порядка

Пусть дана функция Тогда

функция называется возраста́ющей на , если

функция называется стро́го возраста́ющей на , если

функция называется убыва́ющей на , если

функция называется стро́го убыва́ющей на , если

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Периодичность

Функция называется периодической с пери́одом , если справедливо .

Если это равенство не выполнено ни для какого , то функция называется апериоди́ческой.

Чётность

Функция называется нечётной, если справедливо равенство

Функция называется чётной, если справедливо равенство

Экстремумы функции

Пусть дана функция и — внутренняя точка области определения Тогда называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если

называется точкой абсолютного минимума, если

График функции

Пусть дано отображение . Тогда его гра́фиком называется множество      , где обозначает декартово произведение множеств и . Графиком непрерывной функции является кривая на двумерной плоскости. Графиком непрерывной функции является поверхность в трёхмерном пространстве.

Примеры Функция Дирихле Возвращает единицу, если аргумент — рациональное число, если же иррациональное, то возвращает ноль.

Область определения: (вся числовая ось). Область значений: .

Функция sgn(x) Возвращает знак аргумента.

Область определения: . Область значений: .

Область определения: . Область значений: .

Факториал Возвращает произведение всех натуральных чисел, не больших данного. Кроме того, .

Область определения: (множество натуральных чисел с нулём). Область значений:

Антье (пол) Возвращает целую часть числа.

Область определения: . Область значений: .

Способы задания функции СловесныйС помощью естественного языкаИгрек равно целая часть от икс.АналитическийС помощью формулы и стандартных обозначенийГрафическийС помощью графикаТабличныйС помощью таблицы значений x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Аналитический способ Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задаётся посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим. Этот способ даёт возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью. Если зависимость между x и y задана формулой, разрешённой относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде. Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно. Функция может быть определена разными формулами на разных участках области своего задания. Аналитический способ является самым распространённым способом задания функций. Компактность, лаконичность, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента из области определения, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа — основные преимущества аналитического способа задания функции. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности, которое компенсируется возможностью построения графика и необходимость выполнения иногда очень громоздких вычислений.

Примеры:

Табличный способ Функцию можно задать, перечислив все её возможные аргументы и значения для них. После этого, если это необходимо, функцию можно доопределить для аргументов, которых нет в таблице, путём интерполяции или экстраполяции. Примерами могут служить программа передач, расписание поездов или таблица значений булевой функции:

Графический способ

Функцию можно задать графически, отобразив множество точек её графика на плоскости. Это может быть приблизительный набросок, как должна выглядеть функция, или показания, снятые с прибора, например, с осциллографа. Этот способ задания может страдать от недостатка точности, однако в некоторых случаях другие способы задания вообще не могут быть применены. Кроме того, такой способ задания один из самых презентативных, удобных для восприятия и качественного эвристического анализа функции.

Рекурсивный способ Функция может быть задана рекурсивно, то есть через саму себя. В этом случае одни значения функции определяются через другие её значения.

Примеры: факториал; числа Фибоначчи; функция Аккермана.

Словесный способ Функцию можно описать словами на естественном языке каким-либо однозначным способом, например, описав её входные и выходные значения, или алгоритм, с помощью которого функция задаёт соответствия между этими значениями. Наряду с графическим способом, иногда это единственный способ описать функцию, хотя естественные языки и не столь детерминированы, как формальные.

Примеры: функция, возвращающая цифру в записи числа пи по её номеру; функция, возвращающая число атомов во вселенной в определённый момент времени; функция, принимающая в качестве аргумента человека, и возвращающая число людей, которое родится на свет после его рождения.

Классы числовых функций Интегрируемые функции Интегрируемые по Лебегу функции Равномерно непрерывные функции Целые функции

Исторический очерк

Появление понятия Математическое моделирование явлений и законов природы приводит к возникновению понятия функции, которое поначалу ограничивается алгебраическими функциями (многочленами) и тригонометрией. Как и остальные понятия математики, общее понятие функции сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. Разумеется, и в древности при вычислениях люди неосознанно использовали различные функции (например, квадратный корень) и даже уравнения, однако как отдельный математический объект, допускающий общее аналитическое исследование, функция могла появиться только после создания Виетом символической алгебры (XVI век). Даже в XVII веке Непер, вводя в обиход логарифмическую функцию, использовал обходной путь — определил её кинематически.

Первоначально объектом исследования стали разнообразные алгебраические формулы. Декарт рассматривал неалгебраические зависимости только в виде редчайшего исключения. У него и у Ферма формула понимается не просто как вычислительный алгоритм, но рассматривается как (геометрически представимое) преобразование одной непрерывно меняющейся величины в другую. У Барроу («Лекции по геометрии», 1670) в геометрической форме устанавливается взаимная обратность действий дифференцирования и интегрирования (разумеется, без употребления самих этих терминов). Это свидетельствует уже о совершенно отчётливом владении понятием функции как целостного объекта. В геометрическом и механическом виде понятие функции мы находим и у Ньютона.

Математический термин «функция» впервые появился в 1673 году у Лейбница, и притом не совсем в современном его понимании: Лейбниц вначале называл функцией различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы её точек). Позже, однако, в переписке с Иоганном Бернулли (1694) содержание термина расширяется и в конце концов становится синонимом «аналитически заданной зависимости».

В первом печатном курсе «Анализа бесконечно малых для познания кривых линий» Лопиталя (1696) термин «функция» не употребляется.

Первые попытки определения В начале XVIII века были получены разложения всех стандартных функций и многих других. Благодаря, в основном, Эйлеру (1748) были уточнены их определения. Эйлер впервые ясно определил показательную функцию, а также логарифмическую как обратную к ней, и дал их разложения в ряд. До Эйлера многие математики считали, например, тангенс тупого угла положительным; Эйлер дал современные определения всех тригонометрических функций (сам термин «тригонометрическая функция» предложил Клюгель в 1770 году).

В приложениях анализа появляется множество новых трансцендентных функций. Когда Гольдбах и Бернулли попытались найти непрерывный аналог факториала, молодой Эйлер сообщил в письме Гольдбаху о свойствах гамма-функции (1729, название принадлежит Лежандру). Через год Эйлер открыл бета-функцию, и далее неоднократно возвращался к этой теме. Гамма-функция и связанные с ней (бета, дзета, цилиндрические (Бесселя)) находят многочисленные применения в анализе, а также в теории чисел, а дзета-функция Римана оказалась незаменимым инструментом для изучения распределения простых чисел в натуральном ряду.

В 1757 году Винченцо Риккати, исследуя секторы гиперболы, вводит гиперболические функции ch, sh (именно с такими обозначениями) и перечисляет их основные свойства. Немало новых функций возникло в связи с неинтегрируемостью различных выражений. Эйлер определил (1768) интегральный логарифм (название предложил И. Зольднер, 1809), Л. Маскерони — интегральные синус и косинус (1790). Вскоре появляется и новый раздел математики: специальные функции.

С этим пёстрым собранием надо было что-то делать, и математики приняли радикальное решение: все функции, независимо от их происхождения, были объявлены равноправными. Единственное требование, предъявляемое к функции — определённость, причём имеется в виду не однозначность самой функции (она может быть и многозначной), а недвусмысленность способа вычисления её значений.

Первое общее определение функции встречается у Иоганна Бернулли (1718): «Функция — это величина, составленная из переменной и постоянной». В основе этого не вполне отчётливого определения лежит идея задания функции аналитической формулой. Та же идея выступает и в определении Эйлера, данном им во «Введении в анализ бесконечных» (1748): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств».