Факториа́льное кольцо́ — область целостности, в которой всякий неприводимый элемент является простым и выполняется условие обрыва цепей возрастающих главных идеалов. Факториальные кольца часто называются гауссовыми в честь Гаусса. Определение Менее формально, факториальное кольцо определяется как область целостности , в которой каждый ненулевой элемент можно записать в виде произведения неприводимых элементов и обратимого элемента : ; при этом в случае, если обратим, то , то есть произведение вырождается до одного множителя. И это разложение единственно в следующем смысле: если — неприводимые элементы и — обратимый элемент, такие что
,
то и существует биективное отображение такое что — элемент, ассоциированный с для .
Примеры Все евклидовы кольца, в частности, кольцо целых чисел (см. основная теорема арифметики) и кольцо гауссовых целых чисел. Если факториально, то и кольцо многочленов факториально, отсюда следует, что и кольцо факториально. Теорема Аусландера — Буксбаума: каждое регулярное локальное кольцо является факториальным. Кольцо формальных степенных рядов над областью главных идеалов является факториальным. Пусть — поле характеристики не 2. Клейн и Нагата показали, что факториально, если — невырожденная квадратичная форма и не меньше пяти. Локализация факториального кольца факториальна. Более того, подходящей локализацией и из нефакториального кольца можно получить факториальное кольцо. Например, кольцо не факториально (так как ), а его локализация факториальна.
Эквивалентные формулировки Пусть — целостное кольцо. Следующие утверждения эквивалентны: факториально. Каждый ненулевой простой идеал содержит простой элемент, то есть такой элемент, что главный идеал, порожденный этим элементом, прост. — кольцо Крулля, в котором каждый дивизорный идеал главный (так определяется факториальное кольцо у Бурбаки). — кольцо Крулля и каждый простой идеал, не содержащий других ненулевых простых идеалов, главный.
Свойства факториальных колец 1. В факториальных кольцах корректно определены понятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного любого конечного набора элементов, а также понятие взаимной простоты элементов.
2. Лемма о совместной делимости. Если элемент факториального кольца делится на каждый из элементов , , … ,, причём эти элементы попарно взаимно просты, тогда делится на их произведение.
3. Если , причём элементы попарно взаимно просты, тогда каждое из них имеет вид , где — обратимые элементы кольца.
4. Любую дробь , составленную из элементов факториального кольца, можно записать в несократимом виде, то есть существуют взаимно простые элементы и (однозначно определённые с точностью до ассоциирования), такие что .
5. Теорема Гаусса. Если дробь является корнем многочлена со старшим коэффициентом, равным 1 (элементы , а также все коэффициенты многочлена — элементы факториального кольца ), тогда лежит в , то есть делится на в кольце . (Данное свойство кольца называется целозамкнутостью).
Литература
Категория:Теория колец